如圖

此為一個函數中的部份圖形

在上一個單元中

介紹過函數的極大 極小值

與最大 最小值的概念

給定一個常見函數

例如多項式函數f

我們好奇的是

該如何找到f的極大值

或極小值發生處呢

下圖是函數f的部分圖形

其中f為圖形的極大值

觀察可發現在x等於c的左邊

函數圖形嚴格遞增

其導函數f'大於0

而在x等於c的右邊

函數圖形嚴格遞減

其導函數f'小於0

又因為f'為連續函數

可知f'等於0

類似地右圖中的函數g

在x等於d產生極小值

同樣可推得g'等於0

這個結果不是偶然

它是本單元要介紹的主題

微積分學中的費馬定理

滿足一階導數為0的點

為函數可能發生相對極值的點

費馬定理

設f為可微分函數

若f'存在

且f在x等於c有極大值或極小值

則f'等於0

證明如下

設f是f的一個極大值

則對於c附近的x

都滿足f大於等於f

即當h的絕對值夠小時

都滿足f大於等於f

得f減f小於等於0

當h大於0時

h分之f減f小於等於0

因為f'存在

所以

當h小於0時

h分之f減f大於等於0

因為f'存在

所以

由式可知

f'小於等於0

由式可知

f'大於等於0

故f'等於0

同理當f是f的一個極小值

亦可得f'等於0

由費馬定理可知

若函數在某一點可微

則函數在這個點的一階導數值為0

是函數極大或極小值的必要條件

因此費馬定理可以幫我們

找出可能產生極值的點

並排除掉不為極值的點

接著我們練習利用費馬定理

求出多項式函數可能產生極值的點

試求出函數f等於x四次方減8x平方加5

可能產生極值的點

解答

先求出f'等於4x三次方減16x

等於4x乘以括號x加2

乘以括號x減2

當f'等於0時

可解得x等於-2 0或2

因此x等於-2 0或2

是f等於x四次方減8x平方加5

可能產生極值的點

再練習一個求出多項式函數

可能極值點的例子

由費馬定理可知

設f為可微分函數

若函數f在x等於c有相對極值

則f'等於0

反過來說

如果f在x等於c的一階導數為0

那麼f在x等於c

一定會有極大值或極小值嗎

我們先看一個例子

給定函數f等於x三次方

因為f'等於3x平方

所以f'等於0

但觀察f等於x三次方的圖形會發現

f並不是函數的極大值或極小值

因此費馬定理的逆定理不成立

即

由費馬定理與上述反例可知

滿足一階導數為0的點

只是函數可能發生極值的候選點

並不一定是發生極值的點

還需要其它方法才能進一步判斷

再看一個例子

試求函數f等於x的絕對值的極值

觀察函數f等於x的絕對值的圖形會發現

f等於0

是函數的相對極小值

但f'不存在

因此函數的極值除了可能發生在

f'等於0處

也可能發生在f'不存在之處

綜合上述

函數的極大值與極小值

可能發生在一階導數為0的點

或不可微分的點

費馬定理

設f為可微分函數

若f'存在

且f在x等於c有極大值或極小值

則f'等於0

反之一階導數為0的點

不一定會有極大值或極小值

反例

f等於x三次方

滿足f'等於0

但f不是極大值或極小值

若f為函數f的相對極值

則f'等於0或f'不存在

函數極大極小值的判別

本單元中介紹的費馬定理

可以幫助我們找出函數極值可能發生處

在找出極值發生處之後

我們該如何判斷它是極大值或極小值呢

觀察圖中的C點與圖中的D點

都有水平切線

一次導數皆為0

但圖中的C點

為極大值發生處

而圖中的D點

則是極小值發生處

如何利用函數極值點左右的圖形趨勢

來判斷該極值點

是極大值或極小值呢

再觀察圖

C點附近的函數圖形

為凹口向下

而圖中D點附近的函數圖形

則為凹口向上

凹口的方向與極大或極小值的判斷

是否有關係呢

上述問題分別與判斷函數

極大 極小值的一階檢定法

與二階檢定法有關

留給同學思考

這個單元中

我們先介紹了微積分學中的費馬定理

以及多項式函數產生極值的地方

並舉例說明

費馬定理的逆定理並不成立

最後說明了函數極值可能發生的點

以後當遇到求多項式函數極值問題時

就可以先利用費馬定理

找出極值可能發生之處

當同學再學到極值的一階

或二階檢定法之後

就可以判斷出該點是函數的

極大值或極小值了