我們今天要探討的是

多項式函數極值的一階檢定法

學完這個方法後所有的多項式

同學都可以利用這個方法找極值

首先我們先來複習極值的概念

請問圖形中

解答 第題 B D

第題 C E

第題 F點不產生極值

由圖可看出

在極大值或極小值發生處

若有切線

切線都是水平的

而F點雖然有水平切線

但卻不在F點產生極值

前面影片中曾學過費馬定理

這個定理告訴我們

如果極值發生的點就是水平切線

但是有水平切線的點

不見得會產生極值

就像圖中的F點

所以滿足f'等於0的點

只是發生極值的候選人

接下來我們就要利用

函數在滿足f'等於0的點

附近f遞增或遞減的情形

來判斷是否發生極值

再搭配函數的一階微分

判斷圖形的遞增或遞減

所以此方法就稱為

極值的一階檢定法

下面我們來學習這個方法吧

如何判斷滿足f'等於0的候選人

是否為發生極值的點

我們透過觀察下面的圖形

圖形由左往右

先嚴格遞增再嚴格遞減

剛好在x等於c的左側

f'大於0

右側f'小於0

不難發現f是極大值

那同學思考一下

極小值要如何按照剛剛的方法討論

圖形由左往右

先嚴格遞減再嚴格遞增

即在x等於c處的左側

f'小於0

右側f'大於0

此時f是極小值

我們把上面所講的整理如下

多項式函數極值的一階檢定法

設f為多項式函數

且f'等於0

若x等於c的附近滿足

當x小於c時

f'大於0

當x大於c時

f'小於0

則f是極大值

若x等於c的附近滿足

當x小於c時

f'小於0

當x大於c時

f'大於0

則f是極小值

下面我們來練習例題吧

例題1

試求函數f等於x的4次方減4x3次方加3的極值

與發生極值的x值

首先求出f的導函數

並將其因式分解

得到f'等於4x3次方減12x平方

等於4x平方乘以x減3

同學想一下

這題可能發生極值點的x坐標有那些

就是f'等於0的點

得x等於0或x等於3

將f'的正 負情形整理成下表

在x大於3時

f微分大於0

圖形嚴格遞增

在0與3之間

f微分小於0

圖形嚴格遞減

根據一階檢定法

f有極小值-24

在x等於0附近

f微分皆小於0

圖形嚴格遞減

所以沒有極值

最後我們利用電腦繪圖

畫出f等於x的4次方減4x3次方加3

同學可以觀察圖形遞增遞減的情形

與極小值的點

是否跟我們之前討論符合

前面的影片曾介紹

定義在閉區間上的多項式函數

閉區間端點必為極大值或極小值

一定有最大值與最小值

再搭配極值的一階檢定法

找出極大值與極小值

則在這些極大值中

最大者就是最大值

極小值中最小者就是最小值

如此一來多項式函數就可以在閉區間上

找到最大值與最小值

下面我們來練習例題吧

例題2

試求函數f等於x3次方減3x加1

在閉區間上的最大值與最小值

解答

首先求出f的導函數

並將其因式分解得到

f'等於3x平方減3

等於3乘以x加1乘以x減1

f'等於0

得x等於-1或1

再加上閉區間的兩個端點

-3與3共四點進行討論

將f'的正負情形整理成下表

在x等於1附近

當x大於1時

f'大於0

f嚴格遞增

當x小於1時

f'小於0

f嚴格遞減

所以f等於-1為極小值

在x等於-1附近

當x大於-1時

f'小於0

f嚴格遞減

當x小於-1時

f'大於0

f嚴格遞增

所以f等於3為極大值

接著考慮x等於3與x等於-3兩個端點

x等於3附近

f'大於0

f遞增

所以f等於19為極大值

x等於-3附近

f'大於0

f遞增

所以f等於-17為極小值

因此極大值f等於3 f等於19

極小值f等於-17 f等於-1

故最大值為f等於19

最小值f等於-17

最後我們利用電腦繪圖

畫出在-3到3之間

f等於x3次方減3x加1的圖形

同學可以觀察圖形遞增遞減的情形

是否跟我們之前討論符合

多項式函數極值的一階檢定法

設f為多項式函數

且f'等於0

若x等於c的附近滿足

當x小於c時

f'大於0

當x大於c時

f'小於0

則f是極大值

若x等於c的附近滿足

當x小於c時

f'小於0

當x大於c時

f'大於0

則f是極小值

定義在閉區間上的多項式函數

閉區間端點必為極大值或極小值

一定有最大值與最小值

再搭配極值的一階檢定法

就可以找出最大值與最小值

下一部影片會介紹找極值的另一個方法

也會有比較多的練習

歡迎同學一起來學習喔