上一部影片曾介紹

多項式函數極值的一階檢定法

我們會先做練習

如果學習起來很吃力

請同學去看上一部影片的介紹喔

我們要進行解題了

如果還需要更多時間

按下暫停鍵

解題

首先求出f的導函數

並將其因式分解

得到f'等於-3x平方加6x

等於-3x乘以x減2

解f'等於0

可得x等於0或2

將f'的正 負情形整理成下表

根據表格因為x小於0時

f'小於0

0小於x小於2時

f'大於0

所以f在x等於0時有極小值0

因為0小於x小於2時

f'大於0

x大於2時

f'小於0

所以f在x等於2時有極大值4

最後我們利用電腦繪圖

畫出f等於-x3次方加3x平方

同學可以觀察圖形遞增遞減的情形

與極值的點

是否跟我們之前的討論符合

上述的方法有印象後

我們今天要學習

透過函數的凹向來判定極值的方法

這種方法的運算往往會比較簡便

下面我們就來看新方法的介紹吧

接下來我們來介紹另外一個判別極值的方法

當滿足f'等於0

我們觀察x等於c附近圖形的凹向

進而判別f是極大值或極小值

觀察圖可以發現

f在x等於c處附近的圖形是凹口向下

此時f為極大值

同理觀察圖中

f在x等於c處附近的圖形是凹口向上

此時f為極小值

我們知道函數f的二階微分

可以判斷圖形的凹向性

所以綜合上面的觀點

我們得出以下結論

多項式函數極值的二階檢定法

已知f為多項式函數

且f′等於0

若f′′小於0

則f是極大值

若f′′大於0

則f是極小值

我們來實際做一個例子吧

例題1

試求函數f等於-x3次方加6x平方

減9x加2的極值

解答

首先求出f的導函數

並將其因式分解得到

f'等於-3x平方加12x減9

等於-3乘以x減1乘以x減3

解f'等於0

可得x等於1或x等於3

再計算出f''等於-6x加12

f''等於6大於0

f''等於-6小於0

故可利用二階檢定法

判定f等於-2為極小值

f等於2為極大值

我們利用電腦繪圖

畫出f等於-x3次方加6x平方減9x加2

同學可以觀察圖形的極值

是否跟我們之前的討論符合

同學看完這個方法後

是否覺得簡便多了

但是其實它有一些限制

我們繼續看下去吧

看完這個檢定法的使用後

我們一起再看一次檢定法的說明

有發現到沒有討論到

f′′等於0

那如果這種情況又是怎樣呢

我們來看兩個例子

設f等於x3次方

g等於x4次方

f'等於3x平方

f''等於6x

g'等於4x3次方

g''等於12x平方

這兩個函數都滿足

f'等於f''等於0

且g'等於g''等於0

可是同學可以觀察圖形

發現f不是極值

而g是極小值

透過這個例子可以知道

二階檢定法不適用在

f′′等於0

所以同學如果遇到這種情形

就回到一階檢定法去檢查

下面我們來練習例題吧

例題2 試求函數

f等於x4次方減4x3次方加3的極值

解答

首先求出f的導函數

並將其因式分解

得到f'等於4x3次方減12x平方

等於4x平方乘x減3

解f'等於0

得x等於0或x等於3

再計算出f''等於12x平方減24x

f''等於0

f''等於36大於0

其中可利用二階檢定法

判定f在x等於3時有極小值-24

但是f′′等於0

所以二階檢定法不適用

此時我們改用一階檢定法

因為f′在x等於0附近皆小於0

f在x等於0處的左右兩邊都嚴格遞減

因此f等於3不是極值

故f有極小值-24

沒有極大值

最後我們將前面所學做一個整理