我們學習過求多項式函數極值的方法

生活中許多求最大值 最小值的問題

只要能轉化成數學問題

就能透過此方法解決

這部影片會帶領大家

按部就班的解決應用問題

首先我們先來舉例

複習極值的檢定法吧

例題1

試求函數f等於x的四次方減4x三次方加30

的極值與發生極值的x值

首先求出f的導函數

並將其因式分解得到

f'等於4x三次方減12x平方

等於4x平方乘括號x減3

我們找出f'等於0

這些可能發生極值的點

得x等於0或x等於3

表格出來後

我們觀察在x等於0與x等於3附近

f'的正負

在x大於3時

f微分大於0

圖形嚴格遞增

在小於3時

f微分小於0

圖形嚴格遞減

根據一階檢定法

f有極小值3

在x等於0附近

f微分皆小於0

圖形嚴格遞減

所以沒有極值

最後我們利用電腦繪圖

畫出

f等於x四次方減4x三次方加30

同學可以觀察圖形遞增遞減的情形

與極小值的點

是否跟我們之前的討論符合

同學先仔細閱讀應用問題後

注意以下步驟

設未知數

並確認未知數的範圍

形成函數轉化成數學問題

利用求極值方法

找出最佳解

我們實際操作試試看

例題2

將邊長為6公分的正方形厚紙板

四個角各截去一個

邊長為x公分的正方形

然後再將各邊沿著虛線摺起來

做成一個無蓋的長方體容器

求長方體的容積最大值

紙板厚度不計

首先截去的正方形邊長x公分

需小於6公分的一半

且邊長為正數

所以x大於0小於3

因為長方體的底面積為

括號6減2x的平方平方公分

高為x公分

可以得到容積為

括號6減2x的平方乘x立方公分

如此一來我們就將應用問題轉換成

在x大於0小於3

求f等於括號6減2x平方乘x的最大值

f等於括號6減2x平方乘x

等於4x三次方減24x平方加36x

f'等於12x平方減48x加36

等於12乘以括號x減1乘以括號x減3

我們找出f'等於0

這些可能發生極值的點

得x等於1或x等於3

我們在範圍x大於0小於3內討論

所以只要觀察x等於1附近

f'的正負

當x大於0小於1時

f微分大於0

圖形嚴格遞增

所以f小於f

當x大於1時

f微分小於0

圖形嚴格遞減

所以f小於f

得到f等於16為最大值

故長方體的容積最大值為16立方公分

這同學自己練習喔

等一下我們對答案

我們按照剛剛提供的步驟來處理

要對答案了

同學還沒做好的可按暫停鍵

設未知數並確認未知數的範圍

設截去的正方形的邊長為x公分

x大於0小於12

形成函數轉化成數學問題

盒子的容積f等於

x乘以括號24減2x

乘以括號12減x

等於2x乘以括號12減x的平方

利用求極值方法找出最佳解

盒子的容積的最大值為512立方公分

最後我們再把解函數極值的

應用問題的步驟再複習 一遍

同學面對問題

只要按部就班多練習

一定可以成功解決問題

加油