早在人類文明的開始 丈量土地的面積就是一件重要的工作 尤其是尼羅河的泛濫 洪水之後土地的邊界全部被掩埋 重新界定土地需要精確的測量 因此人們便產生在農田被破壞之後 丈量土地的需求 以便人們能夠分配土地 而要做好這件工作 就必須要有良好求面積的方法 但是對於邊界是曲線的區域 要計算其面積並不是一件容易的事 古希臘時期的阿基米德 曾利用分割和逼近的想法求圓面積 與拋物線弓形的面積 無窮逼近的觀念逐漸成形 成為積分理論的基礎 現在就讓我們用下面的例子 讓同學們也能體驗阿基米德利用 分割和逼近的想法吧 我們以求函數y等於x平方的圖形 與x軸 x等於0及x等於1 所圍成的區域R面積為例 我們要如何才能求區域R的面積呢 這時候我們可以借助阿基米德 利用分割和逼近的想法 來求區域R的面積 步驟1 分割 首先我們先將區間0到1平分成4等分 再過這些等分點 分別作x軸的垂直線 這些垂直線把R分割成4個區域 這些區域的面積總和 就是R的面積 步驟2 逼近 我們就一個長條區域來考慮 過此區域上方邊界的最高點作水平線 並與另三邊所在的三條直線 圍出一個矩形 於是4個長條共圍出4個矩形 我們稱這4個矩形的面積總和為上和 同樣地從區域上方邊界的最低點 作水平線也可得到4個矩形 其中一個矩形的高為0 我們稱這4個矩形的面積總和為下和 由上可知 下和小於等於R的面積小於等於上和 因為f等於x平方 在區間0到1上遞增 且每段寬度均為4分之1 所以下和 4分之1乘以括號4分之0的平方 加4分之1乘以括號4分之1的平方 加4分之1乘以括號4分之2的平方 加4分之1乘以括號4分之3的平方 等於32分之7 上和為 4分之1乘以括號4分之1的平方 加4分之1乘以括號4分之2的平方 加4分之1乘以4分之3括號的平方 加4分之1乘以括號4分之4的平方 等於32分之15 因此32分之7 小於等於R的面積 小於等於32分之15 一般而言仿照以上的方法 將區間平分成n等分 上和記作Un 下和記作Ln 顯然Ln小於等於R的面積 小於等於Un 當我們將區間平分成更多的小段 即n愈大時 區域的寬度會愈窄 所作出來的上和與下和 會更逼近R的面積 由表格可以發現 當n愈大時 上和Un與下和Ln愈來愈靠近 當n等於1000的上和與下和 可以估算R的面積為0.33 第三步驟求極限 將區間平分成n等分 因為f等於x平方在區間上遞增 且每段寬度均為n分之1 所以上和Un等於 n分之1乘以括號n分之1的平方 加n分之1乘以括號n分之2的平方 一直加到n分之1乘以括號n分之n的平方 等於n的3次方分之1 乘以括號1平方加2平方 一直加到n平方 等於n的3次方分之1 乘以6分之n乘以括號n加1 乘以括號2n加1 等於6n平方分之 2n平方加3n加1 下和Ln等於 n分之1乘以括號n分之0的平方 加n分之1乘以括號n分之1的平方 一直加到n分之1乘以括號n分之n減1的平方 等於n的3次方分之1 乘以括號1平方加2平方 一直加到n減1的平方 等於n的3次方分之1 乘以6分之n減1乘以n乘以2n減1 等於6n平方分之 2n平方減3n加1 取極限limit n趨近於無限大 Un 等於limit n趨近於無限大 6n平方分之 2n平方加3n加1 等於6分之2 等於3分之1 limit n趨近於無限大 Ln 等於limit n趨近於無限大 6n平方分之2n平方減3n加1 等於6分之2 等於3分之1 因為上和與下和的極限相等 又Ln小於等於R的面積 小於等於Un 所以由夾擠定理得R的面積為3分之1 一般而言 若f為閉區間上的連續函數 且在區間上滿足f大於等於0 則f的圖形和直線x等於a x等於b 及x軸所圍區域R的面積 可用以下步驟來計算 步驟1 分割 將區間分割成n等分 再將區域R分成R1 R2 R3 一直到Rn等n個小區域 每個小區域的寬度為 delta x等於n分之b減a 步驟2 逼近 以Ri所在閉區間的函數f最小值mi為高 作下矩形 其中i等於1 2 3一直到n 則這n個下矩形的面積總和 Ln等於m 乘以n分之b減a 加m 乘以n分之b減a 一直加到m 乘以n分之b減a 等於括號m 加m 一直加到m 乘以n分之b減a 以Ri所在閉區間的函數f為最大值Mi為高 作上矩形 其中i等於1 2 3一直到n 則這n個上矩形的面積總和 Un等於M 乘以n分之b減a 加M 乘以n分之b減a 一直加到M 乘以n分之b減a 等於括號M 加M 一直加到M 乘以n分之b減a 步驟3 取極限 因為Ln小於等於R的面積 小於等於Un 所以當limit n趨近於無限大 Ln 等於limit n趨近於無限大 Un 等於A時 根據夾擠定理 區域R的面積等於A 那麼最後我們來整理一下今天的概念 若f為閉區間上的連續函數 且在區間上滿足f大於等於0 則f的圖形和直線x等於a x等於b 及x軸所圍區域R的面積 我們可以透過以下步驟來計算 步驟1 分割 步驟2 分別計算下矩形Ln 和上矩形Un的面積總和 來逼近區域R的面積 步驟3 取極限 利用Ln小於等於R的面積 小於等於Un 以及limit n趨近於無限大 Ln 等於limit n趨近於無限大 Un 等於A 可以得到區域R的面積等於A 同學們都學會了嗎