在前一個單元中

我們跟大家介紹了

阿基米德利用分割和逼近

求面積的想法

現在讓我們先複習一下吧

若f為閉區間上的連續函數

且在區間上滿足f大於等於0

則f的圖形和直線x等於a x等於b

及x軸所圍區域R的面積

我們可以透過以下步驟來計算

步驟1 分割

將區間等分成n小段

步驟2 逼近

分別計算下矩形Ln

和上矩形Un的面積總和

來逼近區域R的面積

步驟3 取極限

利用Ln小於等於R的面積

小於等於Un

以及limit n趨近於無限大 Ln

等於limit n趨近於無限大 Un

等於A

可以得到區域R的面積等於A

一般而言對於連續函數f

在區間之間都大於等於0

則其圖形在x軸上方

這時候我們如果要求f與x軸

在區間之間所圍成區域R的面積

可將區間分成n小段

每一小段的寬度皆為delta x

等於n分之b減a

在每一段中任取一個點c

k等於1 2一直到n

以函數值f作為該小段長條形的高

則所有長條形的面積總和

我們稱為黎曼和

黎曼和是以19世紀的德國數學家

黎曼的名字命名

紀念他對積分學的貢獻

黎曼和的定義為

sigma f乘上delta x

k等於1到n

這時候我們可以將黎曼和

作為區域R的面積的近似值

從上面黎曼和的定義

我們可以知道

上和與下和是黎曼和的二個特例

也就是說當每個f

都是分割的每一小段中的最大值時

黎曼和即為上和Un

當每個f都是分割的

每一小段中的最小值時

黎曼和即為下和Ln

現在讓我們用下面的例子

來跟同學們說明吧

例題

設f等於x x屬於

且x x x x x

為的等分割點

第題 若c 為的左端點

試求f等於x的黎曼和

第題 若c 為的中點

試求f等於x的黎曼和

第題 若c 為的右端點

試求f等於x的黎曼和

解答

依題意分割為四等分

所以delta x等於4分之2減0

等於2分之1

因此x 等於0

x 等於2分之1

x 等於1

x 等於2分之3

x 等於2

c 為左端點

所以我們取0

2分之1

1以及2分之3

則其高度f分別為

2分之1

1及2分之3

因此黎曼和等於

0乘以2分之1加2分之1乘以2分之1

加1乘以2分之1

加2分之3乘以2分之1

等於2分之1乘以括號

0加2分之1加1加2分之3

等於2分之3

c 為中點

所以我們取4分之1

4分之3

4分之5以及4分之7

則其高度f分別為

4分之1

4分之3

4分之5以及4分之7

因此黎曼和等於

4分之1乘以2分之1

加4分之3乘以2分之1

加4分之5乘以2分之1

加4分之7乘以2分之1

等於2分之1乘以括號

4分之1加4分之3

加4分之5加4分之7

等於2

c 為右端點

所以我們取2分之1

2分之3以及2

則其高度f分別為

2分之1

2分之3以及2

因此黎曼和等於

2分之1乘以2分之1

加1乘以2分之1

加2分之3乘以2分之1

加2乘以2分之1

等於2分之1乘以括號

2分之1加1加2分之3加2

等於2分之5

今天的課程中我們介紹了黎曼和的概念

同學們都學會了嗎