同學們還記得嗎 在前一個單元中 我們跟大家介紹了黎曼和的概念 對於在的連續函數f 若此區間內皆有f大於等於0 則其圖形在x軸上方 欲求f與x軸在之間 所圍成區域R的面積 可將分成n小段 每一小段的寬度皆為delta x 等於n分之b減a 在每一段中任取一個點xi′ i等於1 2一直到n 以函數值f作為該小段長條形的高 則所有長條形的面積總和 我們稱為黎曼和 當每個f都是區間的 每一小段中的最大值時 黎曼和即為上和Un 當每個f都是區間的 每一小段中的最小值時 黎曼和即為下和Ln 上和與下和是黎曼和的二個特例 綜合上述結果 可得L4等於4分之7 U4等於4分之15 L8等於16分之35 U8等於16分之51 同學們有沒有發現 這些值之間的大小關係呢 L4小於等於L8小於等於R 小於等於U8小於等於U4 我們可以發現 如果對所求的區域分割愈細 下和會增大 而上和會減小 其黎曼和會越接近實際面積 也就是limit n趨近於無限大 Un等於R limit n趨近於無限大 Ln等於R 現在我們將上面的結果重新整理一下吧 首先將分成n等分 可得每一個小區間長為 delta x等於n分之b減a 接著在每一個小區間 分別取函數的最小值mi 與最大值Mi 則下和Ln等於n分之b減a 乘以括號m 加m 加 一直加到m 等於sigma m 乘上delta x i等於1到n 上和Un等於n分之b減a 乘上括號M 加M 一直加到M 等於sigma M 乘上delta x i等於1到n 當limit n趨近於無限大 Un 等於limit n趨近於無限大 Ln時 這個極限稱為連續函數f從a到b的定積分 並記為f從a到b的定積分 其中a與b分別稱為該定積分的下限與上限 定積分的結果是一個數值 而且是上和及下和的共同極限 即∫fdx從a到b 等於limit Un n趨近於無限大 等於limit Ln n趨近於無限大 上述定義中 積分符號∫由萊布尼茲首先使用 是從Sum的第一個字母S 拉長變化而來 藉此表示定積分是由黎曼和取極限得出 表示定積分的意義為求和 因此定積分的符號可以想像為 sigma改寫成積分的符號 ∫f變成f delta x變成dx 接下來我們來看一個例子 求∫-x平方加1乘dx 從0到2的值 解答 將區間0到2平分成n等分 分割點為0 等於x 小於x 小於x 小於 一直小於x 等於2 令delta x等於n分之2 在區間中中 取右端點xi′等於n分之2i i等於1,2一直到n 得黎曼和 sigma f乘delta x i從1到n 等於sigma -n分之2i的平方加1 乘上n分之2 i等於1到n 等於-n的3次方分之8 乘上sigma i平方 i等於1到n 加上n分之2乘上sigma 1 i等於1到n 等於-n的3次方分之8 乘上6分之n乘以括號n加1 乘上括號2n加1 加上n分之2乘以n 等於-3分之4乘以n平方分之 2n平方加3n加1 加2 因此integral -x平方加1乘dx 從0到2 等於limit -3分之4乘上n平方分之 2n平方加3n加1加2 n趨近於無限大 等於-3分之4乘2加2 等於-3分之2 從上面的例題中 不知道同學們是否有發現呢 這個題目定積分的值為-3分之2呢 由結果可知 定積分的值可以是負數 今天的課程中 我們介紹了黎曼和與定積分的關係 設f是區間上的連續函數 a等於x 小於x 小於x 一直小於x 等於b 是平分區間的分割 xi′為區間中的任一點 delta x等於x 減x 等於n分之b減a i等於1,2, 一直到n 則黎曼和的極限 limit sigma f乘delta x i等於1到n n趨近於無限大 稱為函數f在區間上的定積分 並以符號∫f乘dx a到b表示 其中a與b分別稱為該定積分的下限與上限 同學們是不是都學會了呢