在前面的單元中

我們介紹了定積分的概念

設f是區間上的連續函數

a等於x

小於x 小於x 小於

一直小於x 等於b

是平分區間的分割

x '為區間中的任一點

delta x等於x 減x

等於n分之b減a

i等於1 2一直到n

則黎曼和的極限

limit n趨近於無限大

sigma i等於1到n

fdelta x

稱為函數f在區間上的定積分

並且以符號∫fdx從a到b表示

其中a與b分別稱為該定積分的下限與上限

f稱為被積分函數

a稱為定積分的下限

b稱為上限

∫dx表示是對變數x作積分

函數的變數只要一致就好

例如∫fdx從a到b

和∫fdt從a到b

代表同一個積分

而我們在處理上面的定積分問題時

使用的是黎曼和進行分割 求和

取極限的代數操作

現在就讓我們用這樣的概念

來練習下面的問題吧

綜合定積分的意義可知

若在區間上都有f大於等於0

則定積分∫fdx從a到b

就是f的函數圖形與x軸

直線x等於a x等於b

所圍區域的面積

若在區間上都有f小於等於0

則定積分∫fdx從a到b

就是f的函數圖形

與x軸 直線x等於a x等於b

所圍區域的面積之負值

舉個例題來說

試以定積分表示f等於x平方的圖形

與直線x等於0 x等於2 y等於0

所圍出的面積

解答

由圖可知

因為x屬於之間時

函數f等於x平方大於等於0

故所圍出的面積為

∫x平方dx從0到2

第2題

試以定積分表示f等於x三次方的圖形

與直線x等於-2 x等於0 y等於0

所圍出的面積

解答

由圖可知

因為x屬於區間時

函數f等於x三次方小於等於0

故所圍出的面積為

-∫x三次方dx從-2到0

當被積分函數f在區間上有正有負時

定積分的結果是

x軸上方的面積減x軸下方的面積

如圖

以R1 R2 R3分別代表三個區域的面積

則∫fdx從a到b

等於R1減R2加R3

接下來讓我們來看一個例子

例題

已知f等於x

試求定積分∫fdx從-2到4的值為何

解答

由圖形可知

∫fdx從-2到4

等於區域R1面積減區域R2面積

等於2分之1乘以4乘以4

減掉2分之1乘以2乘以2

等於6

第題如圖所示

所以∫2dx從-1到3

等於2乘以4等於8

第題如圖所示

所以∫括號2x加1dx從0到3

等於2分之括號1加7乘以3

等於12

第題如圖所示

f等於根號9減x平方的圖形

與x等於-3 x等於3

以及y等於0所圍出的區域

為半圓形區域

所以∫根號9減x平方dx從-3到3

等於2分之1乘以π乘以3的平方

等於2分之9π

同學們之前我們學過

可以使用黎曼和進行分割

求和

取極限的代數操作

解決定積分的問題

但操作過程要面對大量的運算

感覺上較繁雜

但是在這支影片中

我們介紹了定積分與面積的關係

定積分所代表的幾何意義

就是x軸上方的面積

減x軸下方的面積

原來只要能畫出函數圖形

就能轉成利用面積來求得定積分之值

這樣的幾何意義看起來能取代

黎曼和的繁雜運算

但若遇到的幾何圖形是彎曲的曲線

有沒有什麼其他的方法

可以計算曲線底下的面積呢

後面的課程

我們將逐步的引導同學們

來認識積分的計算喔

我們下次見