在上次的單元中 我們介紹了定積分與面積的關係 若在區間上 都有f大於等於0 則定積分∫fdx從a到b 就是f的函數圖形 與x軸 直線x等於a x等於b 所圍區域的面積 若在區間上都有f小於等於0 則定積分∫fdx從a到b 就是f的函數圖形 與x軸 直線x等於a x等於b 所圍區域的面積之負值 而定積分所代表的幾何意義 就是x軸上方的面積 減x軸下方的面積 只要能畫出函數圖形 就能轉成利用面積來求得定積分之值 同學們觀察上述的例子 是否有發現什麼結論呢 在第一個問題中 ∫xdx從-3到3的被積分函數f等於x 為奇函數 它的圖形對稱於原點 所以在區間中 x軸上方的面積 與x軸下方的面積相等 因此得到∫xdx從-3到3等於0 在第二個問題中 ∫根號4減x平方dx從-2到2 的被積分函數f等於根號4減x平方 為偶函數 其圖形對稱y軸 由圖形的對稱性可以得知 ∫根號4減x平方dx從-2到2 等於2乘以∫根號4減x平方dx從0到2 我們將上述的結果歸納成以下的結論 奇函數與偶函數的積分性質 設f在區間上連續 若f為奇函數 它的圖形對稱於原點 則∫fdx從-a到a等於0 若f為偶函數 其圖形對稱y軸 則∫fdx從-a到a 等於2倍的∫fdx從0到a 現在讓我們來看個例子 試求∫x絕對值dx從-2到2的值 解答 解法1 ∫x的絕對值dx從-2到2 為y等於x的絕對值 在區間上與x軸所圍區域的面積 因此∫x絕對值dx從-2到2 等於R1面積加R2面積 等於2分之1乘以2乘以2 加2分之1乘以2乘以2 等於4 解法2 因為f等於x的絕對值為偶函數 圖形左右對稱 所以∫x絕對值dx -2到2 等於R1面積加R2面積 等於2倍的R2面積 等於2乘以∫x的絕對值dx從0到2 等於2乘以括號2分之1乘2乘2 等於4 在定積分的定義中 定積分的符號∫fdx從a到b 通常a小於b 當定積分的下限等於上限 或是下限大於上限時 也就是當a等於b或a大於b時 我們有以下定義 定義∫fdx從a到a等於0 當a大於b時 定義∫fdx從a到b 等於-∫fdx從b到a 此外我們根據定積分的定義 再搭配圖形觀察 我們可以得到定積分具有如下的性質 若f與g是定義在 閉區間上的可積分函數 對任意c屬於 f在區間 區間上也可積分 則∫fdx從a到b 等於∫fdx從a到c 加∫fdx從c到b 對任意的常數k屬於R 則kf在區間上亦可積分 則∫k乘以fdx從a到b 等於k乘以∫fdx從a到b 因為f與g是定義在 閉區間上的可積分函數 所以f加g在區間上亦為可積分 即∫f加gdx a到b 等於∫fdx a到b 加∫gdx從a到b 最後我們將上述的性質整理如下 定積分的線性性質 設函數f與g都在區間上連續 c為常數 則若f大於等於0 在區間上成立 則∫fdx從a到b大於等於0 ∫k乘以fdx從a到b 等於k乘以∫fdx從a到b ∫括號f加減gdx從a到b 等於∫fdx從a到b 加減∫gdx從a到b 定積分的區間可加成性 若f是區間I上的連續函數 且a b c為I中的三個點 則∫fdx從a到b 等於∫fdx從a到c加∫fdx從c到b 現在我們來利用上面的性質 處理下面2個問題吧 第1題 已知∫x平方dx從0到1等於3分之1 ∫xdx從0到1等於2分之1 試求∫括號2x平方減3x dx從0到1的值 第2題 已知∫fdx從0到2等於2 ∫fdx從0到6等於5 試求∫fdx從2到6的值 解答 第1題根據定積分的線性性質可知 ∫括號2x平方減3x dx從0到1 等於∫2x平方dx從0到1 加上∫-3x dx從0到1 等於2倍的∫x平方dx從0到1 減3倍的∫xdx從0到1 等於2乘以3分之1減3乘以2分之1 等於6分之-5 第2題根據定積分的區間可加成性可知 ∫fdx從0到6等於∫fdx從0到2 加上∫fdx從2到6 所以∫fdx從2到6 等於∫fdx從0到6 減掉∫fdx從0到2 等於5減2等於3 在這支影片中 我們介紹了許多定積分的性質 包含 奇函數與偶函數的積分性質 設f在區間連續 若f為奇函數 它的圖形對稱於原點 則∫fdx從-a到a等於0 若f為偶函數 其圖形對稱y軸 則∫fdx從-a到a 等於2倍的∫fdx從0到a 當定積分的下限大於上限 或是下限與上限相等時 也就是當a等於b或a大於b時 我們有以下定義 定義∫fdx從a到a等於0 當a大於b時 定義∫fdx從a到b 等於-∫fdx從b到a 定積分的線性性質 設函數f與g都在區間上連續 c為常數 則若f大於等於0在區間上成立 則∫fdx從a到b大於等於0 ∫k乘以fdx從a到b 等於k乘上∫fdx從a到b ∫括號f加減gdx從a到b 等於∫fdx從a到b 加減∫gdx從a到b 定積分的區間可加成性 若f是區間I上的連續函數 且a b c為I中的三個點 則∫fdx從a到b 等於∫fdx從a到c 加∫fdx從c到b 同學們是不是都學會了呢 我們下次見