這次的課程介紹的是微積分基本定理一 一開始我們先從定積分進行討論 計算函數f等於3t平方 在區間的定積分為何 可列定積分為 ∫3t平方dt 從0到b 等於t三次方 從0到b 等於b的三次方 觀察式子知道 給定一個b能得到唯一的定積分值 b的三次方 是一種函數對應關係 若將b用x代替 能假設F等於∫3t平方dt 從0到x 等於x的三次方 此時若對F微分可得 F'等於∫3t平方dt 從0到x的微分 等於3x平方 等於f 現在我們把這個概念整理為接下來的定理 我們稱為微積分基本定理第一部分 定理內容為 若函數f在區間連續 則函數F等於∫fdt 從a到x 在區間可微 且F'等於f 同學可觀察函數F 其為一個定積分的形式 下限為a 而上限x為在區間中的某一個值 此時F可微 並且F'等於f 接著繼續觀察F等於∫fdt 從a到x 可以看出F為下限為a 上限為x 且x為區間上的某值的定積分函數 而當x等於b代入F時 F等於∫fdt 從a到b 此式即代表連續函數f 在區間上的定積分 ∫fdt 從a到b 接著讓我們來看如何計算 ∫括號1加t的三次方dt 從a到x的微分 假設F等於∫括號1加t的三次方dt 從a到x f等於括號1加t的三次方 因為f為連續函數 所以由微積分基本定理第一部分 可知F'等於f 故∫括號1加t的三次方dt 從a到x的微分 等於括號1加x的三次方 因為對x微分 同學們在完成答案時 一定要將t等於x帶入f的函數內 請嘗試選出下列正確選項 解答 假設F等於∫括號1加t的2023次方dt 從a到x f等於1加t的2023次方 因為f為連續函數 所以由微積分基本定理第一部分 可知F'等於f 故∫括號1加t的2023次方dt 從a到x的微分 等於1加x的2023次方 故答案為3 接下來我們將微積分基本定理 第一部分的內容和反導函數連結 一開始先對反導函數的定義進行複習 若函數F滿足F'等於f 則F為f的一個反導函數 故F等於∫fdx加C 同學們除了要注意 反導函數有很多種可能外 若要求f的不定積分時 一定要注意加上常數C 代表著所有可能的反導函數形式 接著微積分基本定理 第一部分內容如下 觀察到F等於∫fdt 從a到x的微分 為f 故由反導函數的定義可知 F為f的一個反導函數 因此我們可以下一個結論 f的不定積分∫fdx 等於F加C 又因為F等於∫fdt 從a到x 因此可得到f的不定積分 又可以寫成∫fdt 從a到x加C 接下來我們再對微積分基本定理 第一部分的內容 進行深入的範例說明 但在進入範例前 我們先複習微分的連鎖律 接著我們以一個例子 複習連鎖律的操作 已知f等於括號x加1的平方 f'等於2x加2 試求f of x平方的微分為何 此題由連鎖律可知 f of x平方的微分 等於f' of x平方乘x平方' 此部分同學們需注意f' of x平方 為將x平方代入f的導函數 並且需將x平方對x微分 因此等於括號2x平方加2 乘上2x 等於4x三次方加4x 接下來我們討論此範例 若f等於括號x平方加1的平方 試求∫fdt 從0到x平方的微分為何 一開始需要檢查f是否為連續函數 而因為f為多項式函數 因此f必為連續函數 接著假設F等於∫fdt 從0到x 故F'等於f 則∫fdt 從0到x平方 等於F of x平方 由上述假設可知 ∫fdt 從0到x平方的微分 等於F of x平方的微分 由微分的連鎖律又會等於 F' of x平方乘x平方' 此時已知F'等於f 故F' of x平方等於f of x平方 接著等於f of x平方乘2x 等於括號x平方的平方加1的平方 乘以2x 等於2x乘上括號x四次方加1的平方 最後我們整理一下重點 從微積分基本定理第一部分可知 F'等於∫fdt 從0到x的微分 等於f 而當F of x n次方對x微分時 則需使用連鎖律 得到F of x n次方的微分 等於∫fdt 從0到x的n次方的微分 等於F' of x n次方乘xn次方' 等於f of x n次方 乘上n乘以x的n減1次方 同學在討論此定理的微分時 一定要特別注意使用連鎖律的可能 最後我們整理這次課程的內容 反導函數的整理有以下兩點 F'等於f F為f的一個反導函數 ∫fdx等於F加C C為常數 上述的第二點不定積分的形式 也是反導函數的形式 由微積分基本定理第一部分 可知反導函數有第三種表示形式 ∫fdx等於∫fdt 從a到x加C C為常數 在反導函數的討論上 除了第一點 其餘兩點的表示法 皆和不定積分有關 同學需注意這兩點計算後 需要加上常數C 在定積分的部分 ∫fdt 從a到b 表下限為a 上限為b的定積分 此為之前所學的表示法 而定積分在微積分基本定理第一部分 有其他表示法 當F等於∫fdt 從a到x F等於∫fdt 從a到b 接著可以觀察上下的形式 會發現上下形式有些微差異 f的反導函數∫fdt 從a到x加C 微分後等於f 且反導函數為一個函數形式 而非固定值 而在計算f的定積分時 會有下限a 上限b 最後的結果會是一個固定值 這支影片的微積分基本定理介紹到這邊 各位同學加油