這次的課程介紹的是 微積分基本定理二 一開始讓我們先複習 定積分的運算性質吧 首先我們先觀察一下圖形 y等於f x等於c x等於a 和x軸所圍成的面積 為∫fdx 從c到a y等於f x等於a x等於b 和x軸所圍成的面積為 ∫fdx 從a到b 從畫面的圖形中可以看出 若要算y等於f x等於c x等於b 和x軸所圍成的面積時 可將兩面積相加 得到以下等式 ∫fdx 從c到a加上 ∫fdx 從a到b 等於∫fdx 從c到b 則由以上式子得到 ∫fdx 從a到b 等於∫fdx 從c到b 減掉∫fdx 從c到a 我們接著利用定積分的運算性質 來討論反導函數和定積分的關係 假設F為區間上 f的ㄧ個反導函數 則F等於∫fdt 從c到x加上C C為常數 假設函數f在區間連續 已知c小於a小於b 且y等於f的函數皆在x軸上方 如圖所示 計算定積分∫fdx 從a到b時 可由上述定積分的運算性質 得到式子 ∫fdx 從a到b 等於∫fdx 從c到b 減掉∫fdx 從c到a 則若改由反導函數可推導 F減F等於∫fdt 從c到b 加C 減掉∫fdt 從c到a 加C 等於∫fdt 從a到b 此部份說明計算定積分 ∫fdx 從a到b的值時 由註記所推導過程可知 只需找到f在區間上的ㄧ個反導函數 上限代入此反導函數 減掉下限代入此反導函數 即為定積分之值 接著觀察下圖 從面積觀點進行觀察 ∫fdx 從a到b 代表著橘色的面積 而其值∫fdx 從c到b 減掉∫fdx 從c到a 即為深藍色的面積 扣掉淺藍色的面積 現在我們把這個概念 整理為接下來的定理 上面的這個概念我們稱為 微積分基本定理第二部分 定理內容為 若函數f在區間上連續 且F是f在區間上的ㄧ個反導函數 即F'等於f 則∫fdx 從a到b 等於F減F 我們可以將此定理用於定積分的計算 現在讓我們拆解成幾個步驟說明 步驟ㄧ 找到ㄧ個f的反導函數F 步驟二 列式為∫fdx 從a到b 等於F 從a到b 請同學們注意上下限位置不能互換 步驟三 將上限b和下限a代入反導函數並相減 得到∫fdx 從a到b 等於F 從a到b 等於F減F 接著讓我們來看如何計算定積分 ∫括號x平方加2x加1dx 從0到3之值 因為x平方加2x加1為多項式函數 因此在區間上連續 已知3分之1x三次方加x平方加x 為x平方加2x加1的ㄧ個反導函數 故∫括號x平方加2x加1dx 從0到3 等於3分之1x三次方加x平方加x 從0到3 等於括號3分之1乘以3的三次方 加3的平方加3 減掉括號3分之1乘以0的三次方 加0的平方加0 等於21 請同學們選出下列正確的選項 接下來我們再來複習定積分 和面積之間的關係 若連續函數f在區間上滿足 f大於等於0 則函數y等於f圖形 與直線x等於a x等於b 及x軸所圍成面積為定積分 ∫fdx 從a到b 若連續函數f在區間上滿足 f小於等於0 則函數y等於f圖形 與直線x等於a x等於b 及x軸所圍成面積為定積分 負的∫fdx 從a到b 接下來讓我們來看下面這個範例 試求函數f等於x三次方減x的圖形 與x軸所圍成的面積 我們ㄧ開始將f進行因式分解 並畫出y等於f的圖形 可知f等於x乘上括號x減1 乘上括號x加1 令f等於0 可得x等於-1 0 1 因此f圖形和x軸交於 三點 圖形如下所示 令y等於f和x軸所圍成的面積為 R1 R2 因為f等於x三次方減x 在區間上連續 且4分之1乘以x的四次方 減2分之1乘以x的平方 為f的ㄧ個反導函數 因此區域R1面積等於 ∫括號x三次方減x dx 從-1到0 等於括號4分之1x的四次方 減2分之1x平方 從-1到0 等於0減上括號4分之1減2分之1 等於4分之1 區域R2面積等於 負的∫括號x三次方減x dx 從0到1 等於負的括號4分之1x四次方 減2分之1x平方 從0到1 等於負的括號4分之1減2分之1減0 等於4分之1 故所圍成面積 等於區域R1的面積 加區域R2的面積 等於4分之1加4分之1 等於2分之1 請求出正確答案 最後我們整理這次課程的內容 定積分計算步驟中 需找ㄧ個反導函數 將上限b和下限a代入反導函數 並相減可得到其定積分值 此部分即為微積分基本定理第二部份 而定積分與面積的關係中 同學們要注意在區間上時 當函數f都小於等於0時 也就是圖形都在x軸的下方 要計算y等於f x等於a x等於b 及x軸所圍成的面積 其值為定積分 負的∫fdx 從a到b 這支影片的課程介紹到這邊 各位同學加油