在進入正式課程前

我們先複習一下

反導函數和不定積分的概念

反導函數的定義為

若函數F滿足F'

等於f

則F為f的一個反導函數

且反導函數不唯一

若以不定積分的形式

表示反導函數

則以∫fdx做為

f所有的反導函數的表示形式

因此針對反導函數和不定積分的關係

可整理成以下內容

若F為f的反導函數

即F'等於f

則∫fdx等於F加C

C為常數

而常數C請同學們不要忘記加上

接著讓我們來看看如何計算

∫3x平方加2x加1 dx

3x平方加2x加1的一個反導函數

為x三次方加x平方加x

則∫3x平方加2x加1 dx

等於x三次方加x平方加x加C

C為常數

計算反導函數時

會先找出一個不含常數項的反導函數

最後再加上常數C

在複習完反導函數後

我們利用微積分基本定理

第二部分說明利用反導函數

計算定積分的概念

定理內容為

若函數f在區間連續

且F是f在區間的一個反導函數

即F'等於f

則∫fdx從a到b

等於F減F

我們拆解成幾個步驟說明

步驟一 找到一個f的反導函數F

步驟二 列式為

∫fdx從a到b等於F從a到b

請同學們注意上下限位置不能互換

步驟三 將上限b和下限a代入反導函數並相減

得到∫fdx從a到b

等於F從a到b

等於F減F

接著讓我們來看如何計算定積分

∫dx從-1到3之值

因為2x加1為多項式函數

因此在區間連續

已知x平方加x為2x加1的一個反導函數

請同學們注意一下

在計算定積分的時候

我們所採用的反導函數

不須補上常數項

故∫dx從-1到3

等於從-1到3

等於括號3平方加3

減掉括號-1的平方減1

等於12

在前面的課程中

我們有介紹定積分和面積之間的關係

當連續函數f大於等於0時

函數y等於f圖形

與直線x等於a x等於b

及x軸所圍成面積為定積分

∫fdx從a到b

反之若f小於等於0時

則為-∫fdx從a到b

那麼當函數f的某些部份大於0

某些部份小於0時

對其做定積分

代表著什麼呢

假設y等於f和x軸交於


由左至右排列

可觀察到y等於f大於等於0的範圍

在x等於a到c

y等於f小於等於0的範圍

在x等於c到b

假設R R 為y等於f

和x軸所圍成的面積

R 在x軸上方

R 在x軸下方

那麼∫fdx從a到b

等於∫fdx從a到c

加上∫fdx從c到b

等於R 減R

因此可知道定積分所計算出來的值

不一定代表面積

計算面積時需要確認

函數在x軸上方或下方

接著我們來觀察定積分和面積的例子

假設y等於f和x軸交於


由左至右排列

y等於f和x軸所圍成的範圍面積

由左至右分別是R 等於19

R 等於11

R 等於19

則第題

y等於f和x軸所圍成的面積為何

第題 ∫fdx從1到4為何

第題可知道答案是

R 加R 加R 等於19加11加19

等於49

第題可針對定積分進行拆解

∫fdx從1到4

等於∫fdx從1到2

加上∫fdx從2到3

加上∫fdx從3到4

等於-R 加R 減R

等於-19加11減19

等於-27

請求出正確答案

第題 定積分∫2xdx從-1到2

等於x平方從-1到2

等於2平方減-1的平方等於3

第題 可將y等於2x與直線

x等於-1 x等於2繪製如右圖

發現x等於-1至0時函數小於0

而x等於0至2時函數大於0

所求面積為橘色的部份

則面積等於-∫2xdx從-1到0

加上∫2xdx從0到2

等於x平方從-1到0

加上x平方從0到2

等於0減-1的平方

加上2平方減0平方

等於1加4等於5

最後我們整理這次課程的內容

定積分計算步驟中需找一個反導函數

將上限b和下限a代入反導函數

並相減可得到其定積分的值

在定積分的幾何意義及面積關係部份

以右圖所示

假設R R 為y等於f和x軸所圍成的面積

R 在x軸上方

R 在x軸下方

則∫fdx從a到b

等於∫fdx從a到c

加上∫fdx從c到b

等於R 減R

代表著定積分不一定代表面積

而當我們要計算函數和x軸所圍成面積時

則需要觀察f的情況

以此圖為例

面積等於R 加R

等於∫fdx從a到c

減掉∫fdx從c到b

因此計算面積時需檢查函數f

在x軸上方或下方

那麼這支影片的課程介紹到這邊

各位同學加油