在進入正式課程前 我們先說明這次的課程目標 在國中階段的數學課 我們知道圓的周長為2πr 圓的面積為πr平方 而這次的課程為利用 圓周長與黎曼和的觀念 求出圓面積公式 一開始先定義C是半徑為r的圓 在已知圓周長公式為2πr下 將圓C的圓心假設在原點如下圖 則在計算圓面積時 可將圓面積視為很多不同大小的圓環 加起來的情況 我們在此圓內部做出圓心一樣 半徑為x x 一直到x 的 n減1個同心圓 x 等於r 且任意兩個相鄰同心圓的半徑差為定值 因此將圓內部分割成 n個圓環或圓時 每個圓環的寬度或圓的半徑為 delta x 等於x 減x 等於n分之r i大於等於1小於等於n 當n很大的時候 則delta x等於n分之r很小 代表每個圓環或圓的寬度接近0 此時每個圓環或圓 可視為一個圓 此時各個圓的半徑分別是 r n分之n減1乘r 一直到n分之2r n分之1r 同時圓面積在此時 可視為很多個圓加起來 此時考慮delta x等於n分之r很小 可將每個被視為圓的圓環 展開近似於一長條 則半徑為r的圓圓周長 為2πr 展開後可視為長為2πr 寬為delta x等於n分之r的長條 面積為2πr delta x 半徑為n分之n減1r的圓 圓周長為2π乘括號n分之n減1r 展開後可視為長為 2π乘括號n分之n減1r 寬為delta x等於n分之r的長條 面積為2π乘括號n分之n減1r 乘delta x 以此類推 因此將圓面積視為n個圓環累加後 當delta x很小時 可將圓環展開近似為長條累加 因此面積為 2π乘上n分之1r乘delta x 加2π乘n分之2r乘上delta x 一直加到2π乘n分之ir乘上delta x 一直加到2π乘上括號n分之n減1r乘delta x 加2π乘上n分之nr乘delta x 等於sigma i等於1到n 2πn分之ir delta x 最後我們讓delta x等於n分之r 趨近於0 代表著n趨近於無限大 因此圓面積為 limit n到無限大 sigma i等於1到n 2πn分之ir delta x 等於limit n趨近於無限大 sigma i等於1到n 2πn分之ir n分之r 等於limit n趨近於無限大 2πr平方n平方分之1 sigma i等於1到n i 等於limit n趨近於無限大 2πr平方n平方分之1 乘2分之n乘上括號n加1 等於limit n趨近於無限大 πr平方n平方分之n平方加n 等於πr平方 故圓面積為πr平方 接著我們來求 ∫根號16減x平方dx 從0到4的値為何 設y等於根號16減x平方 可知y平方等於16減x平方 即x平方加y平方等於16 所以根號16減x平方 x大於等於0 小於等於4的圖形 為圓心半徑4的4分之1圓 如圖所示 因此∫根號16減x平方dx 從0到4 代表半徑為4的4分之1圓面積 故∫根號16減x平方dx 從0到4 等於4分之1π乘上4平方 等於4π 如圖所示 接著我們將圓x等於2分之3 在第一象限的交點標出 並和原點連線 可得到一個直角三角形 邊長比為3比2分之3比2分之3根號3 因此其為一個30度 60度 90度 的直角三角形 則橘色面積為半徑為3 夾角為60度的扇形面積 扣掉紅色的直角三角形面積 最後我們整理這次課程的內容 定積分的計算方式可分為 利用反導函數求定積分 畫出函數圖找出特定區域求定積分 本次課程主要著重於第2點 本次課程的重點為利用圓周長求圓面積 由於和圓有關的函數 根號r平方減x平方 在高中階段沒有討論其反導函數 因此利用黎曼和的概念計算圓面積 limit n趨近於無限大 sigma i等於1到n 2πn分之ir delta x 等於πr平方 delta x等於n分之r 而在後續為了方面計算 圓相關函數之定積分 我們使用y等於根號r平方減x平方 x大於等於-r小於等於r 代表著半徑為r 圓心為原點的上半圓之函數 做為計算圓面積的函數 此時上半圓的面積為 ∫根號r平方減x平方dx 從-r到r 等於2分之1πr平方 因此圓面積為 2倍的∫根號r平方減x平方dx 從-r到r 等於πr平方 因此若-r小於a小於b小於r ∫根號r平方減x平方dx 從a到b 代表半徑為r 圓心為原點的上半圓 和x等於a x等於b所圍成的面積 那麼這支影片的課程介紹到這邊 各位同學加油