先前的單元我們已經知道

可以用定積分來求得

非負連續函數f的區間

與x軸在區間a到b內

所圍成的區域面積R

也就是R等於f在區間a到b上的積分

這個單元我們將介紹

如何利用定積分來求得兩個連續函數

在區間內所圍成的區域面積

考慮函數f等於x加8

與函數g等於x平方加2

可以知道這兩個函數圖形的交點為

與

在區間-2到3中

可以發現y等於f的圖形始終不小於

y等於g的圖形

考慮兩個函數所圍成的封閉區域

我們欲求出此區域的面積R

首先考慮y等於f與x軸在區間-2到3中

所圍出的區域面積Rf

Rf可以表示為函數f在區間-2到3上的定積分

因此Rf等於f在-2到3上的積分

等於在-2到3上的積分

根據微積分基本定理

可知此積分的值為2分之85

接著考慮y等於g與x軸

在區間-2到3中所圍出的區域面積Rg

Rg可以表示為函數g

在區間-2到3上的定積分

因此Rg等於g在-2到3上的積分

等於在-2到3上的積分

根據微積分基本定理

可知此積分的值為3分之65

因為R等於Rf減Rg

所以R等於2分之85減3分之65

等於6分之125

此為兩函數所圍成的封閉區域面積

從這個例子可以看出

函數f與g所圍出的封閉區域面積

R等於Rf減Rg

等於在區間-2到3中

f的積分減去g的積分

等於f減g的積分

理後可得-x平方加x加6的積分

根據微積分的基本定理

此積分的值為6分之125

這表示先個別用定積分計算面積後再相減

與先將兩函數相減之後再用定積分計算面積

都可以得到相同的結果

事實上這樣的結論是具有一般性的

對於任意兩個連續函數f與g

倘若在區間a到b中

f的值總是大於等於g

則y等於f y等於g

x等於a與x等於b所圍成的區域面積即為

f減g在區間a到b中的積分

我們也可以從黎曼和的觀點來解釋

將區間a到b分割成n等分後

將每一塊區域面積以矩形面積來作為近似值

其中矩形的寬為delta x

等於n分之b減a

而矩形的長為f減g

因此黎曼和的極限即為

f減g在區間a到b上的積分

讓我們再看一個實際的例子

考慮f等於2分之1x平方加x

與g等於2分之1x三次方的圖形

可以知道函數圖形在x等於-1

0與2時共有三個交點

在坐標平面上可知

兩函數圖形共圍出兩塊封閉區域

其中區間-1到0所圍出的面積為R1

區間0到2所圍出的面積為R2

透過分析不等式

f大於等於g

可知不等式的解為x小於等於-1

與x大於等於0 小於等於2

因此可以知道在區間-1到0時

g大於等於f

所以區域面積R1等於g減f

在-1到0區間上的積分

等於2分之1x三次方

減括號2分之1x平方加x

在-1到0區間上的積分

經過計算之後可得24分之5

而在區間0到20

f大於等於g

所以區域面積R2等於f減g

在0到2區間上的積分

等於2分之1x平方加x括號

減2分之1x三次方

在0到2上的積分

經過計算之後可得3分之4

由此可知由函數f與g

所圍成的兩塊區域面積

即為R1加R2等於24分之5加3分之4

等於24分之37

從這個例子我們可以得知

欲求出兩函數所圍成的封閉區域面積

有以下兩件事情必須分析

1.先求出兩函數的交點

以瞭解後續的積分範圍

2.透過不等式的解

判斷兩函數在特定區間中的大小關係

以寫出正確的定積分