先前的單元中

我們已經瞭解函數在區間內

與x軸所圍成的區域面積

可以用定積分來求得

透過定積分我們也可以求得

兩個函數所圍成的區域面積

這個單元我們將介紹

如何用定積分的想法

來求出特定區間內的立體體積

我們都知道

柱體的體積為底面積乘上高

不論是三角柱 四角柱 圓柱皆是如此

即使底面為任意形狀所形成的柱體

只要能決定底面積與高的大小

其體積就是底面積與高的乘積

對於一個立體的物體

可以透過分割切片

將各個切片以柱體體積作為近似值

再表示為黎曼和的極限

進一步用定積分來求出該物體的體積

讓我們用一個底面為正方形的

正四角錐作為範例

考慮底面的邊長為5

高為10的正四角錐

將角錐的頂點放置在原點上

高落在x軸的正向上

則角錐可以視為一個

介於x等於0與x等於10之間的立體形狀

首先在x軸上

我們將區間0到10分割為n等分

令x x x 一直到x

為區間0到10的n等分點

其中delta x等於x 減x

等於n分之10

利用垂直x軸的平面

以x x x 一直到x 為切點

將四角錐切片

此分割總共將四角錐分割為n個區塊

每一小片的體積分別為

V V 一直到V

切片的厚度為delta x

因為四角錐的高與底面邊長的比例

為10比5

所以切點在x 所截出的正方形邊長

即為2分之x

將第i塊的體積V

以柱體R 的體積來近似

其中柱體R 的底面積

是邊長為2分之x 的正方形

厚度為delta x

可知柱體R 的體積

為2分之x 的平方

乘上delta x

因此柱體R R 一直到R 的體積總和為

sigma i等於1到n

2分之x 的平方

乘以delta x

利用黎曼和的概念

隨著分割的數量n越大

則柱體R 的體積與區塊V 的體積

誤差將越小

換句話說

當n趨近於無限大時

則sigma i等於1到n

2分之x 的平方乘delta x

將趨近於四角錐的真實體積

這表示黎曼和的極限

limit n趨近於無限大

sigma i等於1到n

2分之x 的平方乘delta x

即為四角錐的體積

同時也是定積分

2分之x的平方

在區間0到10的積分的值

由此可知四角錐的體積即為

3分之250

從這個例子中

我們可以發現以x 為切點

所產生的截面積為2分之x 平方

而四角錐體積是定積分

2分之x的平方

在0到10之間的積分的值

其中2分之x平方即為切片時

所決定的截面積函數

這表示將截面積函數積分之後

就是累積起來的立體體積

我們將上述的例子的概念一般化

考慮兩平行平面

x等於a與x等於b之間的物體S

我們可將過程分為兩個步驟

分割求近似值

將x軸上的區間a b分割為n等分

等分點為x x x 一直到x

其中delta x等於n分之b減a

令平面x等於x

與物體S相交的截面積為A

物體S被分割為V V 一直到V

其中每一塊切片V 的體積

皆以柱體R 的體積來近似

其中柱體R 的底面積為A

厚度為delta x

黎曼和求極限

因為柱體R R 一直到R 的體積總和為

sigma i等於1到n

A乘delta x

可作為物體S體積的近似值

當n趨近於無限大時

近似值的誤差會趨近於0

所以黎曼和的極限即為物體S的體積

故S的體積就是截面積函數A

在區間a b內所決定的定積分

這樣利用定積分求體積的方法

我們稱為切片法

英文稱為Disk Method

顧名思義就是將物體分割成許多薄片之後

將所有薄片以柱體作為近似

再運用黎曼和的觀念

表示為定積分

求得體積

分割的過程中

若每一個切點x所決定的截面積

為連續函數A

則在區間a到b內所決定的物體體積

即為A在a到b區間內的積分

這表示只要能夠掌握截面積函數A

則可以透過定積分來求得物體體積