畫面中的花瓶

瓶身是一個光滑的曲面

而這個曲面可以視為是一段曲線

繞著對稱軸旋轉一圈所得的結果

若一段曲線與旋轉軸圍成區域

繞旋轉軸旋轉一圈所決定的形體

我們稱為旋轉體

這個單元我們將介紹

如何利用定積分

來求得該旋轉體的體積

考慮連續函數f

在區間與x軸所決定的區域R

以x軸為旋轉軸

將區域R繞x軸旋轉一圈後

所得到的旋轉體為S

將旋轉體S沿著x軸在區間中分割

可以發現通過點的平面

與旋轉體產生的截面

皆為半徑是f的圓

因此分割所決定的截面積函數為

π乘以f的平方

這表示旋轉體S的體積

可用定積分來求得

體積即為

π乘以f的平方 從a到b的積分

這種利用分割所得截面積

求得旋轉體體積的方法

就稱為切片法

由此我們得到一個用定積分

求旋轉體體積的方法

若f在區間中為連續函數

則在區間中的圖形

繞x軸一圈所得的旋轉體體積為

π乘以f的平方

從a到b的積分

讓我們來看一個實際的例子

考慮拋物線圖形y等於x平方

與x等於1 x等於2

及x軸圍成的區域

求此區域繞x軸一圈所得的旋轉體體積

考慮在區間中的切片法

其截面積函數為

π乘以x平方的平方

因此旋轉體體積為

π乘以x平方的平方

從1到2的積分

也就是π乘以x4次方

從1到2的積分

其值為5分之31π

設f與g在區間上為連續函數

且f大於等於g

大於等於0

令f與g在區間中所圍成的區域為R

則區域R繞x軸所得的旋轉體體積

該怎麼計算呢

利用切片法

考慮分割時所得的截面積為

f所產生的大圓面積

減去g產生的小圓面積

這表示截面積函數為

π乘以f的平方

減π乘以g的平方

故旋轉體體積為

π乘以f的平方

減π乘以g的平方

從a到b的積分

讓我們看一個實際的例子

令R為f等於x

與g等於x平方

在區間所圍成的區域

則R繞x軸一圈所得的旋轉體體積為何

根據公式可知旋轉體體積為

π乘以x的平方

減π乘以x平方的平方

從0到1的積分

其值為15分之2π

一般常見的甜甜圈

形狀可以看成是一個圓形

繞旋轉軸一圈所成的旋轉體

然而甜甜圈的體積大小

取決於兩個因素

一個是圓的半徑大小

另一個則是繞行旋轉的半徑大小

我們分別將這兩個半徑記為a與b

其中a小於等於b

這兩個變因將決定甜甜圈的體積

以下將說明如何用定積分的方式

來求得甜甜圈的體積

若圓的半徑a等於2

繞行旋轉的半徑b等於3

將x軸視為旋轉軸

則圓的方程式可假設為

x平方加括號y減3的平方等於4

其中上半圓函數為

f等於3加根號4減x平方

下半圓函數為

g等於3減根號4減x平方

圓的內部區域可以視為f與g

在區間所圍成的區域R

因此區域R繞行x軸旋轉一圈

所得的旋轉體體積即為

π乘以f平方

減π乘以g平方

從-2到2的積分

經過式子的整理之後

可得12π乘以根號4減x平方

從-2到2的積分

因為根號4減x平方

從-2到2的積分

表示半徑為2的上半圓面積

其值為2π

故此旋轉體體積即為

12π乘2π等於24π平方

考慮一般情形

若圓的半徑大小為a

繞行旋轉的半徑大小為b

其中a小於等於b

則旋轉體的體積該

該如何用a與b來表達呢

同學們可以自己試著用定積分

依循剛剛的方式來求得結果喔

這個單元我們介紹了旋轉體的概念

若連續函數f在區間中

與x軸圍成的區域為R

則區域R所決定的旋轉體體積為

π乘以f的平方

從a到b的積分

若連續函數f與g在區間中

所圍成的區域為R

其中f大於等於g

大於等於0

則區域R所決定的旋轉體體積為

π乘以f的平方

減π乘以g的平方

從a到b的積分