前一個單元我們已經瞭解了

如何利用定積分來求得旋轉體的體積

若連續函數f在區間中

與x軸圍成的區域為R

則區域R所決定的旋轉體體積為

π乘以f平方從的積分

這個單元我們將進一步說明

球的體積以及圓錐體積的計算方法

在平面上固定一點A

滿足P點到A的距離等於正實數r

則P所形成的圖形稱為圓

其中A稱為圓心

r稱為半徑

相同的概念

在三維空間中

固定一點A

滿足P點到A的距離等於正實數r

則P點所形成的圖形稱為球面

其中A稱為球心

R亦稱為半徑

我們都知道圓的面積是πr平方

而圓面積的大小

取決於半徑的r的值

顯然的

球的體積必定也是取決於半徑r的值

那麼半徑為r的球

其體積的大小為何呢

半徑為r的球

若將球心置於空間坐標系的原點

則球面與x y平面交於圓

x平方加y平方等於r平方

因此球面包含內部的區域

可以視為由上半圓函數

f等於根號r平方減x平方

繞x軸一圈所決定的旋轉體

根據旋轉體體積公式

可知定積分的區間為-r到r

上半圓函數f

所決定的旋轉體體積為

π乘以f平方從的積分

等於π乘以根號r平方減x平方的平方

從的積分

等於π乘以r平方減x平方

從的積分

經過計算整理後可得

3分之4πr3次方

由此可知

半徑為r的球

體積即為3分之4πr3次方

在得知球的體積公式之後

接下來討論圓錐的體積

考慮底面半徑為r

高為h的圓柱

我們知道圓柱的體積

是底面積乘上高

也就是πr平方h

那麼圓錐的體積與圓柱的體積

有什麼關聯性呢

考慮底面半徑為r

高為h的圓錐

若將圓錐的頂點置於原點

將圓錐的高置於x軸的正向

則圓錐可視為直線f等於h分之rx

在區間中所決定的旋轉體

因此圓錐的體積為

π乘以f的平方從的積分

等於π乘以h分之rx的平方

從的積分

整理後可得

h平方分之πr平方

乘上x平方從的積分

經計算後可得

3分之1πr平方h

因此半徑為r

高為h的圓錐體積為

3分之1πr平方h

由此可知

圓錐的體積為圓柱體積的3分之1倍

讓我們來看一個練習題

如畫面中的圓錐平臺

頂面半徑為2

底面半徑為4

高度為6

試求圓錐平台的體積為何

我們將圓錐平台還原成一個大圓錐

新增的部分為一個小圓錐

令小圓錐的高為h

根據相似形可知

h比2等於h加6比4

可得h等於6

因此圓錐平台的體積

等於大圓錐體減去小圓錐體積

其中大圓錐體積為

3分之1π乘4平方乘12

而小圓錐體積為

3分之1π乘2平方乘6

所以圓錐平台的體積為

64π減8π等於56π

當然我們也可以將此圓錐平台

視為f等於3分之1x

在區間所決定的旋轉體

其體積為π乘以3分之x的平方

從的積分

經計算後亦可得56π

阿基米德是古希臘數學家

他證明了圓柱的高

為底圓直徑的情況下

其體積正好是其內切球

與同底等高圓錐體的體積總和

同時球的體積正好是圓錐體積的2倍

利用這個單元所介紹的體積公式

可知球的體積為

3分之4πr3次方

圓錐的體積為

3分之2πr3次方

而圓柱體積為

2πr3次方

由此可說明阿基米德

發現三者體積的關係

此外考慮半徑為r的圓

我們知道圓的面積為πr平方

若將r視為變數

則πr平方的導函數即為圓周長2πr

可知圓面積在半徑為r的瞬時變化率

就是當下的圓周長

今考慮半徑為r的球

我們知道球的體積為

3分之4πr3次方

若將r視為變數

則3分之4πr3次方的導函數為

4πr平方

是球體積在半徑為r的瞬時變化率

那麼同學們

可以猜看看4πr平方

代表這顆球的什麼意義嗎

歡迎在底下留言喔

這個單元我們介紹了

球的體積以及圓錐的體積公式

半徑為r的球

體積為3分之4πr3次方

底面半徑為r

高為h的圓錐

體積為3分之1πr平方h

等於3分之1的圓柱體積