假設五次考試的成績

分別為70 75 79 86 90

則這五次考試的總分為400分

將其除以5之後可得80分

我們稱這五次考試的平均分數為80分

在數據分析的單元中

對於一組離散型的數據

x x 一直到x

算術平均數定義為所有數據的總和

除以該組數據的個數

也就是n分之x 加x 一直加到x

代表這組數據的平均值

我們可以想像有連續數據的情形

可以假設f為一個連續函數

其函數值隨著變數x的不同

而有所變動

若x的值在區間中改變

則在此區間中函數值的平均

該如何定義呢

這個單元我們將介紹

如何用定積分來定義

連續函數的平均值

已知某商品的價格

隨著時間不斷的跌價

其中一月到六月的售價分別為

120 60 40 30 24 20元

則我們可以得知

這六個月的平均價格為

6分之120加60加40

加30加24加20

等於49元

若我們將這六個月的價格

以直方圖來表示

其中x軸代表月份

y軸代表價格

則直方圖的總面積就是

120加60加40加30加24加20

等於294

將294除以6可得49

這表示我們可以將直方圖的總面積

調整為寬度為6

高度為49的矩形面積

其中這個矩形的高度

就是這六個月的平均價格

對於這種離散型數據所呈現的直方圖

數值的平均在幾何上

即代表平均高度

也就是在橫軸寬度不變的情況下

將直方圖總面積

調整為矩形面積後

所得到的高度

同學們想像一下

隨著直方圖的組距越來越小

直方圖中每個直條底部的寬度

也隨之變小

此時最高點的值看起來

就越來越像是連續函數

那麼連續函數的平均值

該怎麼計算呢

讓我們來看一個連續函數平均值的例子

令時間的單位為秒

距離的單位為公尺

今考慮一個初速度為0

5秒後末速為30的

等加速運動

其v-t圖如畫面所示

由圖形中可知在0到5秒的過程中

速度的大小隨著時間而變化

而陰影區域的面積為

2分之5乘以30

等於75

陰影區域的面積即為物體位移的量

可知這5秒鐘

物體向前位移了75公尺

因此這5秒鐘的平均速度即為5分之75

等於15

我們可以把平均速度15

視為函數圖形的平均高度

然而平均高度的概念可以解釋為

將面積調整為同寬度的矩形後

所得的高度

我們將這樣的概念進行推廣

考慮連續函數f等於x的平方

此函數在區間內

對應的函數值有無限多個

那麼無限多個函數值的平均

該怎麼定義呢

利用定積分在區間內

我們可以求得曲線下所決定的面積為

x平方從0到2的積分

其值為3分之8

因為區間的寬度為2

將此面積調整為同寬度的矩形

把面積3分之8除以2

等於3分之4

即為矩形的高度

我們就將3分之4視為f等於x平方

在區間內函數值的平均

將連續函數的定積分值

除以區間寬度

即為此區間內函數值的平均

對於一般連續函數f

在區間內函數值的平均定義為

h等於b減a分之1

乘上f在a到b之間的積分

若f為非負函數

在幾何意義上

就是將函數曲線下的面積

調整為同寬度的矩形

所決定的高度

某物質的質量隨著時間進行連續的變化

已知質量的變化可表示為連續函數

f等於2分之1x平方

加5分之1x加3

單位為公克

其中x為時間單位為小時

則在前6小時的過程中

平均質量為多少公克呢

根據連續函數的平均值定義可知

f在時間區間內的平均值為

6分之1乘以f在0到6的積分

經過計算可得9.6

因此該物質在前6小時的平均質量為9.6克

這個單元我們介紹了

如何用定積分求得連續函數

在區間內函數值的平均

若f在區間內為連續函數

則在此區間的函數平均值為

b減a分之1

乘上f在a到b之間的積分