在運動學中

我們對直線運動

有相當程度的理解

包含等速運動

等加速度運動

其時間t與位移量S的關係如下

若初速度為v 的等速直線運動

則經過t秒後的位移量

S等於v t

若初速度為v

且加速度為a的等加速度運動

則經過t秒後的位移量

S等於v t加2分之1at平方

但對於變加速度運動

若速度函數為V

則經過t秒後的位移量S

該如何求得呢

速度函數事實上是位移的變化率

而變化率函數將直接決定

位置變化量的值

這表示掌握速度函數

理論上就該能夠得知位移的量

這個單元我們將介紹

如何利用變化率函數

來求得變化量

考慮初速度為6的等速直線運動

經過5秒後

總共位移了30個單位

從速度函數的圖形來看

速度函數V等於6為常數函數

圖形為一條水平線

而0到5秒所產生的位移

為30單位

其數值等同於

函數圖形在區間上

與x軸所圍的矩形面積

考慮初速度為6

且加速度為2的等加速度運動

經過5秒後

根據位移公式

S等於v t加2分之1at平方

可知總共位移了55單位

因為初速度為6且加速度為2

所以經過t秒的速度即為

6加2t

因此速度函數為

V等於6加2t

從速度函數的圖形來看

V等於6加2t為一次函數

圖形為一條過點

且斜率為2的斜直線

而0到5秒所產生的位移55單位

亦等同於函數圖形

在區間上所決定的梯形面積

其中6乘以5就是梯形中的矩形面積

而2分之1乘以2乘以5的平方

則是三角形面積

若考慮變加速度運動

其速度V為連續函數

經過5秒之後

物體的位移量該如何計算呢

在幾何上又具有什麼意義呢

事實上速度V的函數圖形

與t軸所決定的區域面積

即可直接反應出位移的量

若為t軸上方的面積

則表示物體前進位移的量

若為t軸下方的面積

則表示物體後退位移的量

因此物體在這個時段中

產生的淨位移

就是上方面積減去下方面積的值

而這個值與定積分的觀念不謀而合

所以淨位移的量就是

V在區間的積分

依循相同的概念

若考慮時間為a到b秒

則在這段時間內所產生的淨位移

就是V在區間的積分

在運動學的概念中

速度就是位移的變化率

而對速度函數進行積分的運算後

所得的值即為淨位移

本質是位置的變化量

微積分基本定理

就是在闡述這樣的概念

將連續函數f視為物體的位置函數

其一階導函數f'即為速度函數

因為f為f'的反導函數

所以根據微積分基本定理可知

∫f'dx從a到b

等於f減f

其中左式為速度函數

在時間點從a到b的定積分

右式則表示為時間點a

到時間點b的淨位移

然而因應不同的情境

一個連續函數f

可以表示某種意義的數值

可能是血壓 長度 質量 體積

股票指數等等

然而一階導函數f'

即代表這些數值的變化率

考慮變化率函數f'

在區間上的積分

可得f減f

意義即為f在區間內的變化量

變化率函數的定積分

幾何意義為變化率函數曲線

在區間內的上方面積

減去下方面積

實質上表示該數值在區間內

所累積的變化量

讓我們來看一個生活中的例子

已知某晶片製造公司

從早上9點整開始

經過x小時生產電腦晶片的速率為

f等於-3x平方加20x加12

單位每小時千片

按照這樣的產能

問題一

開始生產的前3小時

共生產多少晶片呢

由於變化率的積分即為變化量

生產前3個小時

表示變數x屬於區間上

所以晶片的總生產量

為f從0到3之間的積分

經過計算後可得99

這表示從開始生產的前3個小時中

共生產了9萬9千個晶片

問題二

若考慮早上10點整到下午1點整之間

則共生產多少晶片呢

因為9點開始生產晶片

所以9點代表x等於0

10點代表x等於1

而下午1點則代表x等於4

由此可知生產過程

從早上10點到下午1點的時間區間

為區間

由於變化量為變化率的積分

而時間區間為

因此這3個小時中

晶片的總生產量為

f從1到4的積分

經過計算後可得123

這表示從早上10點到下午1點

總共生產了12萬3千個晶片

若f代表物體直線運動的速度函數

那麼f從a到b的積分

與f的絕對值從a到b的積分

分別代表什麼物理意義呢

兩者之間有什麼差別

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