16世紀的數學家卡丹諾

在研究三次方程式的公式解裡提到

能將10分成兩數

使其乘積為40

卡丹諾明知它是不可能的

仍進行運算

假設其中一數為x

另一數為10減x

依題意列式得到

x乘以括號10減x等於40

將式子展開化簡

並解得此兩數為5加根號-15

與5減根號-15

然而在當時很多數學家和卡丹諾一樣

對於負數的平方根

像根號-15這樣的數充滿疑惑

認為它是不存在的

只是形式上的解而已

直到後來經過了多位數學家的努力

引進了一個新的數

根號-1

並把它記為i

那麼x平方加1等於0的兩根

就可以表示為正負i了

以下是i的規定

i等於根號-1

i平方等於-1

當a大於0時

根號-a等於根號ai

所以根據i的定義

根號-3等於根號3i

因此x平方加3等於0的解

為正負根號3i

透過i的定義及指數率

我們可以得到i等於根號-1

i平方等於-1

i的三次方

寫成i平方乘i

等於-i

i的四次方

寫成i平方的平方

等於1

i的五次方

寫成i四次方乘以i

又回到i

呈現四次方一個循環

第題 將根號-7用i表示

第題 以i表示方程式

x平方加4等於0的解

第題 求i的一百次方

接下來我們定義複數

設a b為實數

則能以a加bi的型式表示的數稱為複數

通常以z或w表示

寫成z等於a加bi

或w等於a加bi

其中a稱為a加bi的實部

b稱為a加bi的虛部

例如 3加4i的實部為3

虛部為4

形如a加括號-bi可以記為a減bi

而a加0i的複數可以記為a

是一個實數

形如0加bi的複數可以記為bi

形如0加1i的複數可以再簡化只記成i

當複數a加bi的b等於0時

a加bi等於a加0i等於a

為一個實數

也就是實數可視為虛部為0的複數

例如-1 0 根號2 π等都是實數

也是複數

當複數a加bi的b不等於0時

a加bi稱為虛數

例如 2加3i -1加8i 5i等都是虛數

當複數a加bi的實部a等於0

且虛部b不等於0時

a加bi等於bi稱為純虛數

例如 -2i 6i等都是純虛數

我們總結上面介紹的內容

這些都稱為複數

當a加bi中的b等於0時

這些數稱為實數

而b不等於0時

則稱為虛數

當兩個複數實部相等虛部也相等時

我們稱這兩個複數相等

也就是當a b c d為實數時

a加bi等於c加di

若且為若a等於c且b等於d

設a b為實數

若括號a加3加8i等於1加2bi

求a b的值

由上面的介紹可以知道

實數是複數的一部分

將實數系與虛數擴張成一個較大的數系

稱為複數系

通常以C表示

i的規定

i等於根號-1

i平方等於-1

當a大於0時

根號-a等於根號ai

複數的定義

設a b為實數

形如a加bi的數稱為複數

通常以z或w表示

寫成z等於a加bi

或w等於a加bi

其中a稱為a加bi的實部

b稱為a加bi的虛部

當複數a加bi的b等於0時

a加bi等於a為一個實數

當複數a加bi的b不等於0時

a加bi稱為虛數

當複數的實部a等於0

且虛部b不等於0時

a加bi等於bi稱為純虛數

複數的相等

當a b c d為實數時

a加bi等於c加di

若且為若a等於c且b等於d