在上支影片中

我們介紹了若a b為實數

能表示a加bi的數

我們稱為複數

而實數系可以做加減乘除的四則運算

當實數系擴展到複數系時

希望複數的四則運算

也能和實數一樣

並且類似實數的性質也都能符合

因此我們給予複數的

加法 減法 乘法的定義如下

設a b c d為實數

則加法

a加bi加上c加di

等於a加c加上b加di

減法

a加bi減c加di

等於a減c加上b減di

乘法

a加bi乘以c加di

等於ac減bd加上ad加bc乘i

上面的乘法運算

是基於我們希望複數能和實數一樣

具有乘法對加法的分配律

在此前提下

則a加bi乘以c加di

可以寫成

a乘以括號c加di

加上bi乘以括號c加di

等於ac加adi加bci加bdi平方

等於ac加adi加bci減bd

等於ac減bd加上ad加bc乘i

根據複數乘法與加法的運算規則

複數加法與乘法

還是能像實數一樣

滿足交換律

結合律與分配律

我們將這些性質整理如下

設z z z 為三個任意複數

則下列性質成立

加法與乘法的交換律

z 加z 等於z 加z

z 乘z 等於z 乘z

加法與乘法的結合律

z z 加完再和z 做相加

會等於z z 先相加再加z

z z 乘完再和z 做相乘

會等於z z 先相乘再乘z

乘法對加法的分配律

z 乘以z 加z

等於z z 加z z

下面我們舉幾個例子

設z 等於3加4i z 等於1減2i

試求下列各式的值

第1題 z 加z 等於3加4i加1減2i

等於4加2i

第2題 z 減z 等於3加4i減1減2i

等於2加6i

第3題 z 乘z 等於3加4i乘1減2i

可以根據加法對乘法的分配律展開

最後得到11減2i

解答

第題 等於2

第題 等於10i

第題 等於26

在剛剛的練習中

我們發現

兩複數1加5i乘1減5i

乘完等於26

為一個實數

事實上a b為任意兩實數

則a加bi乘以a減bi這對複數相乘

出來的結果都為實數

我們稱為a加bi與a減bi互為共軛複數

也就是a加bi的共軛複數為a減bi

我們以符號

a加bi的共軛複數為a減bi來表示

a減bi的共軛複數就是a加bi

以同樣的方式呈現

舉例來說

2加5i的共軛複數為2減5i

3減9i的共軛複數為3加9i

根號5的共軛複數為根號5

-2i的共軛複數為2i

我們利用兩共軛複數相乘

為實數這個性質

舉例說明兩複數如何相除

設a b c d為實數

且a b不同時為0

我們計算c加di除以a加bi時

分子分母同乘a減bi後

經運算得到

a平方加b平方分之ac加bd

加上a平方加b平方分之ad減bc乘i

我們舉一個例子來做說明

2減i分之1加2i

我們在分子分母上

同乘2減i的共軛複數

也就是2加i

並將式子展開作化簡

最後得到i

解答 13分之24加13分之16i

總結

設a b c d為實數

則加法

a加bi加c加di

等於a加c加上b加d乘i

減法

a加bi減c加di

等於a減c加上b減d乘i

乘法

a加bi乘c加di

等於ac減bd加上ad加bc乘i

設z z z 為三個任意的複數

則下列性質成立

加法與乘法的交換律

z 加z 等於z 加z

z 乘z 等於z 乘z

加法與乘法的結合律

z 加上括號z 加z

等於括號z 加z 加上z

z 乘括號z 乘z

等於括號z 乘z 乘以z

乘法對加法的分配律

z 乘括號z 加z

等於z z 加z z

a b為任意兩實數

則a加bi乘a減bi

等於a平方加b平方

為實數

我們稱a加bi與a減bi互為共軛複數

也就是a加bi的共軛複數為a減bi

以這樣的方式表示

設a b c d為實數

且a b不同時為0

則a加bi分之c加di

等於a平方加b平方分之ac加bd

加上a平方加b平方分之ad減bc乘i