在國中的時候我們利用配方法

可以得到實係數一元二次方程式

ax平方加bx加c等於0的公式解

先將整個式子同除以a

再將常數項移到等號右邊

接著兩邊同時補上2a分之b的平方

配成括號x加2a分之b的平方

等於4a平方分之b平方減4ac

最後得到x等於2a分之

-b加減根號b平方減4ac

其中的b平方減4ac

我們稱判別式

習慣以英文字母D來表示

在前面所介紹的複數概念中

我們知道根號裡面可以出現負數

因此無論判別式b平方減4ac

是正數 負數或0

根號b平方減4ac都有意義

因此任何ax平方加bx加c等於0

都可以用公式

x等於2a分之

-b加減根號b平方減4ac來解

其中a不等於0

當b平方減4ac為負數時

我們稱實係數一元二次方程式

ax平方加bx加c等於0有虛根

且兩根為共軛虛根

範例一

試解此方程式

x平方加2x加4等於0

方法一

先將常數移項

x平方加2x等於-4

x平方加2x加1等於-4加1

並配成完全平方

x加1的平方等於-3

x加1等於+-根號3i

解得x等於-1加減根號3i

方法二

也可以利用公式解

2a分之-b加減根號b平方減4ac

得到x等於2乘以1分之

-2加減根號2平方減4乘以1乘以4

等於2分之-2加減根號-12

等於-1加減根號3i

透過前面的練習可以發現

利用公式解求解時

可以透過判別式

直接看出兩根是實數還是虛數

我們將三種情形整理如下表

b平方減4ac大於0

方程式有兩相異實根

b平方減4ac等於0

方程式有兩相等實根

此兩根為重根

b平方減4ac小於0

方程式有兩共軛虛根

範例二

設k為實數

方程式x平方加2x減k等於0

試就k的範圍討論此方程式兩根的關係

方程式x平方加2x減k等於0的判別式

b平方減4ac為4加4k

當判別式4加4k大於0時

即k大於-1時

方程式有兩相異實根

當判別式4加4k等於0時

即k等於-1時

方程式有兩相等實根

當判別式4加4k小於0時

即k小於-1時

方程式有兩共軛虛根

總結

實係數一元二次方程式

ax平方加bx加c等於0的公式解為

x等於2a分之

-b加減根號b平方減4ac

其中b平方減4ac為判別式

習慣以D等於b平方減4ac來表示

判別式b平方減4ac大於0

方程式有兩相異實根

判別式b平方減4ac等於0

方程式有兩相等實根

此兩根為重根

判別式b平方減4ac小於0

方程式有兩共軛虛根