上次我們介紹了實係數一元二次方程式

ax平方加bx加c等於0的公式解為

2a分之-b加減根號b平方減4ac

其中b平方減4ac可以D表示

若此二次方程式的兩根為α β

則我們將α令為

2a分之-b加根號b平方減4ac

等於2a分之-b加根號D

β令為2a分之-b減根號b平方減4ac

等於2a分之-b減根號D

則α加β等於2a分之-b加根號D

加2a分之-b減根號D

等於a分之-b

α乘β等於2a分之-b加根號D

乘以2a分之-b減根號D

等於4a平方分之

-b平方減根號D的平方

等於4a平方分之b平方減D

其中D以b平方減4ac代入

最後化簡得到a分之c

這兩個關係式為實係數一元二次方程式

根與係數的關係

我們也可以從另一種角度來觀察

若一元二次方程式

ax平方加bx加c等於0

的兩根為α β

則ax平方加bx加c可以表示成

a乘以括號x減α乘以括號x減β

我們將式子展開做觀察可以得到

ax平方減a乘以括號α加βx

加a乘以α乘β

所以b等於-a乘以括號α加β

且c等於a乘以α乘β

移項得到α加β等於a分之-b

α乘以β等於a分之c

以此方式得到的根與係數的關係

可以適用於任何一元二次方程式

根與係數的關係

設一元二次方程式

ax平方加bx加c等於0

的兩根為α β

則其係數滿足

α加β等於a分之-b

α乘以β等於a分之c

由根與係數法的關係可得

對於一個已知的一元二次方程式

可以不用求出兩根

就可以利用係數

得知兩根之和與兩根之積

範例一

已知α β為方程式

x平方加2x加5等於0的兩根

試求下列各式的值

第題 α分之1加β分之1

第題 α平方加β平方

第題 α三次方加β三次方

由根與係數法的關係可得

α加β等於-2

α乘β等於5

α分之1加β分之1經通分後可得

αβ分之β加α等於5分之-2

α平方加β平方等於括號α加β的平方

減2倍的α乘β

等於-6

α三次方加β三次方

因式分解可得

括號α加β乘上括號α平方減αβ加β平方

由第二小題的結果得知

α平方加β平方等於-6

帶入式子可以得到

-2乘以括號-6減5等於22

我們也可以從另外一種角度來思考此題

因為α β為方程式

x平方加2x加5等於0的兩根

所以可以得到

α平方加2α加5等於0

及β平方加2β加5等於0的

兩個式子

我們將兩個式子移項可以得到

α平方等於-2α減5

及β平方等於-2β減5

因此α平方加β平方

等於括號-2α減5

加上括號-2β減5

等於-2乘以括號α加β減10

等於-2乘以-2減10

等於-6

第題 α三次方加β三次方

可以考慮乘法公式

α三次方加β三次方等於括號α加β的三次方

減3αβ乘以括號α加β

等於-2的三次方減3乘以5乘以-2

等於22

範例二

已知3加根號2為一元二次方程式

x平方減5x加k等於0的一根

試求此方程式的另外一根及k值

若α β為此方程式的兩根

則由根與係數法的關係可得

α加β等於5

α乘以β等於k

若將3加根號2視為α

則可得到3加根號2加上β等於5

移項得到β等於2減根號2

此為方程式的另一根

兩根乘積為k

所以可以寫成

3加根號2乘以括號2減根號2

等於k

得到k等於4減根號2

根與係數的關係

設一元二次方程式

ax平方加bx加c等於0

的兩根為α β

則其係數滿足

α加β等於a分之-b

α乘β等於a分之c