前個單元我們探討了

二次方程式

根與係數的關係

接下來讓我們就實係數

n次方程式的實根這個主題

繼續做深入探討一下吧

當f為n次多項式時

稱f等於0為n次多項式方程式

當多項式的係數都為實數時

稱為實係數多項式方程式

若存在一個實數α

滿足f等於0

就稱α為f等於0的實根

從前面的單元

我們知道當考慮複數根時

二次方程式都恰好有兩個複數根

我們來觀察下列三組二次方程式

與函數圖形之間的關係

x平方減2等於0有兩實根

根號2與負根號2

而f等於x平方減2

與x軸有兩交點

分別為與

括號x減1的平方等於0

有兩相同實根

x等於1 1 重根

而f等於括號x減1的平方

與x軸的交點為

x平方加1等於0

有兩共軛虛根i與-i

而f等於x平方加1

與x軸則沒有交點

從上面的例子我們觀察到

二次實係數方程式f等於0的實根

即為函數y等於f圖形

與x軸交點的x坐標

同理我們可類推到

n次實係數方程式

接下來我們看以下例題

範例1

已知1為實係數方程式

x3次方減x平方減2x加a等於0的一根

第題 求a的值

第題 求所有的根

第題 求多項式函數

f等於x3次方減x平方減2x加a

與x軸的交點

解答

因為1為方程式

f等於x3次方減x平方減2x加a等於0的根

所以f等於0

即1減1減2加a等於0

可得a等於2

第題 因為f等於0

由因式定理可知

x減1為f的因式

利用綜合除法可將f因式分解

得f等於x3次方減x平方減2x加2

等於括號x減1乘以括號x平方減2

則f等於0的根為

1 根號2 負根號2

第題 多項式函數

f等於x3次方減x平方減2x加2

與x軸有3個交點

分別為

?

範例2

已知-1為實係數方程式

x3次方加x平方加3x加a等於0的一根

第題 求a的值

第題 求所有的根

第題 求多項式函數

f等於x3次方加x平方加3x加a

與x軸的交點

解答

第題

因為-1為方程式

f等於x3次方加x平方加3x加a等於0的根

所以f等於0

即-1加1減3加a等於0

可得a等於3

第題 因為f等於0

由因式定理可知

x加1為f的因式

利用綜合除法可將f因式分解

得f等於x3次方加x平方加3x加3

等於括號x加1乘以括號x平方加3

則f等於0的根為

-1 根號3i 負根號3i

第題 多項式函數

f等於x3次方加x平方加3x加3

與x軸有1個交點為

觀察上述三次方程式都有三個複數根

接下來我們再看幾個例子

觀察實係數方程式與圖形之間的關係

第題

括號x減3的平方乘以括號x減4等於0

有三個根

分別為3 3 4

其中3為二重根

多項式函數圖形f等於括號x減3的平方

乘括號x減4

與x軸有2個交點

分別為

且f '等於0

但f '不等於0

第題

括號x減2的三次方等於0有三重根

x等於2 2 2

多項式函數圖形f等於括號x減2的三次方

與x軸有1個交點為

且f '等於f ''等於0

從上述的例子可觀察到

實係數方程式f等於0

若實數α為滿足f等於0的重根

則實係數多項式函數

y等於f與x軸相切

切點為

範例3

右圖為實係數三次函數圖形

y等於f的一部分

請判斷下列何者可能為f

f等於括號x減1

乘以括號x減3的平方

f等於括號x減1的平方

乘括號x減3

f等於負括號x減1

乘上括號x減3的平方

f等於負括號x減1的平方

乘括號x減3

觀察圖形當x大於3時

三次函數y等於f為遞增函數

故可知f的領導係數為正

又y等於f圖形與x軸相切於

可推得三次實係數方程式

f等於0的三根為

x等於1 1 3

其中1為重根

因此答案為選項

本單元利用觀察多項式函數圖形

探討實係數n次方程式n個實根即為

y等於f圖形與x軸交點的x坐標