在上一支影片 實係數方程式實根的幾何意義中 我們探討了n次方程式的根 接下來讓我們來介紹一個重要的定理 代數基本定理 我們先來看以下幾個例子 設f等於括號x減1乘括號x減2 乘括號x減3 f等於括號x減1乘括號x減2 乘括號x減3等於0 有三個根分別為1 2 3 g等於括號x減1的平方 乘括號x減2 g等於括號x減1的平方 乘括號x減2等於0 有三個根 分別為1 1 2 其中1為二重根 h等於括號x減1的3次方 h等於括號x減1的3次方等於0 有三個根 分別為1 1 1 其中1為三重根 以上的三次方程式都恰有三個根 其實這並非巧合 事實上任何複係數n次方程式 都恰有n個根 接下來介紹代數基本定理 設n為正整數 任一複係數n次方程式 至少有一個複數根 代數基本定理目前已知的證明 需用到複分析 拓樸學 或高等代數 留待將來同學有興趣 修習到更進階的數學知識後 再深入研究 設f為複係數n次多項式 其中n為正整數 代數基本定理 保證方程式f等於0 至少會有一個複數根 而經由不斷重複使用代數基本定理 與多項式的除法 可以證得f等於0恰有n個根 代數基本定理 設n為正整數 任一複係數n次方程式 恰有n個複數根 k重根以k個根計算個數 證明 由代數基本定理 f等於0至少有一複數根 設α 為f等於0的一個複數根 故x減α 為f的一次因式 利用除法可得 f等於括號x減α 乘q 若q 的次數大於或等於1 則q 等於0也至少會有一個複數根α 故x減α 為q 的一次因式 則可得f等於括號x減α 乘以括號x減α 乘q 重複上述步驟 可將f分解成n個一次式的乘積 f等於a乘以括號x減α 乘以括號x減α 一直乘到x減α 其中a為f的首項係數 複數α ,α 一直到α 為f等於0的n個根 其中α ,α 一直到α 可能有些會相等 即所謂重根的情形 接下來我們觀察以下方程式的根 與多項式圖形的關係 f等於x3次方加1 f等於0的三個根為 -1 2分之1加減根號3i 一實根與兩虛根 g等於括號x減1的平方乘括號x減3 g等於0的三個根為 1 1 3 三實根 包含一個二重根 h等於括號x加1的3次方 h等於0的三個根為 -1 -1 -1 三重根 k等於x乘以括號x減1乘括號x減2 k等於0的三個根為 0 1 2 三相異實根 從上述的例子 可觀察到方程式f等於0 若實數α為滿足f等於0的重根 則多項式y等於f與x軸相切 切點為 且方程式f等於0的實根 即為函數y等於f圖形與x軸交點的x坐標 設f等於括號x平方減1 乘括號x加1 乘括號x平方加x加3 第題 解方程式 f等於括號x平方減1 乘括號x加1 乘括號x平方加x加3等於0 第題 求y等於f與x軸的交點 解答 第題 五次方程式 f等於括號x平方減1 乘括號x加1 乘括號x平方加x加3等於0 有五個根 分別為1 -1 -1 2分之-1加減根號11i 其中-1為二重根 第題 y等於f與x軸的交點為 本單元介紹了代數基本定理的兩種形式 代數基本定理 設n為正整數 任一複係數n次方程式 至少有一個複數根 代數基本定理 設n為正整數 任一複係數n次方程式 恰有n個複數根 k重根以k個根計算個數 希望同學都了解這個定理的意義喔