前個單元我們探討根與係數的時候

發現當實係數二次方程式的判別式

D小於0時

方程式的兩虛根會共軛成對

例如x平方加2x加5等於0的兩根

為-1加減2i

所以當推廣到實係數n次方程式的虛根

是否也會共軛成對呢

接下來這個單元

我們介紹虛根成對定理

設f為實係數n次多項式

n為大於1的整數

若a加bi其中a b為實數

且b不等於0

是方程式f等於0的一個虛根

則它的共軛複數a減bi

也是方程式f等於0的一個虛根

證明

首先複習一下

我們在前面的單元提過

複數z等於a加bi

其中a b為實數

其共軛複數z等於a減bi

會有以下性質

z 加減z 的共軛複數

等於z 的共軛複數

加減z 的共軛複數

z 乘z 的共軛複數

等於z 的共軛複數

乘z 的共軛複數

z 除以z 的共軛複數

等於z 的共軛複數

除以z 的共軛複數

z 不等於0

z 的n次方的共軛複數

等於z 的共軛複數的n次方

z 屬於實數

則z 的共軛複數等於z

接下來設實係數n次多項式f

等於a xn次方加a xn減1次方

一直加到a x加a

若z等於a加bi

其中a b為實數 b不等於0

為方程式f等於0的一個虛根

即f等於0

可得f等於a zn次方加a zn減1次方

一直加到a z加a 等於0

則f的共軛複數等於

a 乘以z的共軛複數的n次方

加a 乘上z的共軛複數的n減1次方

一直加到a 乘z的共軛複數加a

等於a 的共軛複數

乘上z的n次方的共軛複數

加a 的共軛複數

乘上z的n減1次方的共軛複數

一直加到a 的共軛複數

乘z的共軛複數

加a 的共軛複數

等於a 乘z的n次方

加a 乘z的n減1次方

一直加到a z加a 的共軛複數

等於0的共軛複數

等於0

可知z的共軛複數等於a減bi

其中a b為實數且b不等於0

也是方程式f等於0的一個虛根

即實係數n次多項式的虛根必共軛成對

已知2加i為實係數方程式

x四次方減5x三次方加7x平方加ax加b等於0

的一個根

求第題

a與b的值

第題 所有的根

解答

第題

設f等於x四次方減5x三次方加7x平方加ax加b

因為2加i為實係數方程式

f等於0的一個虛根

由虛根成對定理可知

2減i也是f等於0的一個根

所以括號x減2加i

乘上括號x減2減i

等於x平方減4x加5

為f的二次因式

利用長除法將f除以x平方減4x加5

一定可以整除

因為整除可得a減3等於0

b加10等於0

也就是a等於3 b等於-10

第題

觀察前面長除法

可得f等於括號x平方減4x加5

乘上括號x平方減x減2等於0

可得括號x平方減4x加5

乘括號x減2乘括號x加1

等於0

故f等於0的所有根為

x等於2加減i

-1

之前代數基本定理說過

實係數n次方程式會有n個複數根

又根據虛根成對定理

虛根會共軛成對的倆倆出現

當多項式為奇次實係數方程式時

即虛根的個數必為偶數

實根個數必為奇數

即奇次實係數方程式至少有一實根

接下來我們看以下例題

已知a加i與2加bi

其中a b為實數

且b不等於0

為實係數方程式

x三次方減3x平方加cx加d等於0

的兩個根

求第題 a與b的值

第題 c與d的值

第題 所有的根

解答

第題

設f等於x三次方減3x平方加cx加d

因為a與b為實數

且b不等於0

所以a加i與2加bi

都是f等於0的虛根

又因為f等於0為三次實係數方程式

由代數基本定理可知

f等於0有三個複數根

而虛根成對定理告訴我們

此方程式的虛根為偶數個

所以這三個根只有一種可能

為一個實根與兩個共軛虛根

所以a加i與2加bi為共軛虛根

即a等於2且b等於-1

第題

而括號x減2加i

乘上括號x減2減i

等於x平方減4x加5

為f的二次因式

利用長除法將f除以x平方減4x加5

一定可以整除

可得c減1等於0

d減5等於0

得到c等於1 d等於5

第題

觀察前面長除法

可得f等於括號x平方減4x加5

乘上括號x加1等於0

故f等於0的所有根為

x等於2加減i

-1

本單元介紹了虛根成對定理

設f為實係數n次多項式

n為大於1的整數

若a加bi其中a b為實數

且b不等於0

是方程式f等於0的一個虛根

則它的共軛複數a減bi也是方程式

f等於0的一個虛根

奇次實係數方程式至少有一實根

希望同學都學會本單元的內容囉