前個單元由代數基本定理

我們知道實係數n次方程式有n個根

進而推得奇次實係數方程式

至少有一個實根

但是求n次方程式實根的精確值

是很困難的

此時可以退而求其次

求實根的範圍

接下來這個單元

介紹一個求實根範圍的方法

勘根定理

之前的單元我們曾經學過

介質定理

設函數f在區間上連續

且f不等於f

若k為介於f與f之間

不含f f的實數

則存在一個實數c介於a與b之間

不含a b

滿足f等於k

接下來設函數f為實係數多項式

則f為連續函數

若f乘以f小於0

即f與f異號

因此0介於f與f之間

則利用介質定理

可得在區間內至少有一實數c

使得f等於0

即c為實係數方程式f等於0的一個實根

這就是本單元的主題

勘根定理

設f為實係數多項式

且a與b為兩相異實數

若f乘f小於0

即f與f異號

則方程式f等於0在區間內

至少有一個實根

另外要注意的是

當f為實係數多項式

且f乘f小於0時

由勘根定理可知方程式f等於0

在區間內至少有一個實根

但並非恰有一個實根

又因為實係數方程式虛根成對定理

在f為實係數多項式

且ff小於0的情況下

方程式f等於0

在區間內的實根個數

必為奇數

重根需重複計算其個數

接下來我們看以下例題

例題一

試問方程式

x三次方減3x平方減2x加5等於0

在哪些連續整數之間有實根

解答

設f等於x三次方減3x平方減2x加5

一般來說

我們會先將0附近的整數代入f

如下表

由觀察及簡易計算可以看出

當x大於等於4時

f大於0

而當x小於等於-4時

f小於0

由上表及勘根定理可知

f等於0在區間

區間

區間上

都分別至少有一個實根

根據代數基本定理

三次方程式f等於0恰有三個根

因此我們已經將所有的根都找到了

事實上上表中如果只要找出根的範圍

我們只需要知道f的正負

不一定要求出精確值

所以上表也可以簡化為

例題2

已知實係數多項式

f等於x三次方加ax平方加bx加c

滿足f小於0

f大於0

f小於0

f大於0

且方程式f等於0的三根均為整數

求第題 f等於0的三個根

第題 a b c的值

解答

將題意整理如下表

由表格與勘根定理可推得

方程式f等於0的三個整數根

分別落在0到根號2

根號2到根號6

根號6到根號10上

所以三根分別為1 2 3

第題 又因為f的x三次方項係數為1

所以由因式定理可得

f等於括號x減1乘括號x減2

乘括號x減3

等於x三次方減6x平方加11x減6

故a等於-6

b等於11

c等於-6

另外同學要注意到一點

勘根定理只說明了實係數多項式f

當f乘f小於0時

方程式f等於0

在區間內至少有一個實根

至於當f乘f大於0

即f與f同號時

方程式f等於0

在區間內可能有實根

也可能沒有實根

進一步的說

此時在區間內的實根個數

為偶數個

重根需重複計算其個數

本單元介紹了勘根定理

設f為實係數多項式

且a與b為兩相異實數

若f乘f小於0

即f與f異號

則方程式f等於0

在區間內至少有一個實根

希望同學都了解這個定理的意義囉