我們在高一曾學過 每一個實數都可以在數線上 找到一個相對應的點來表示 它的位置 藉由數線上相對的位置 我們也可以看出任意兩實數的大小關係 前面的單元裡 我們引進了一個新的數 i等於根號-1 因為i平方等於-1 所以我們知道 i是x平方加1等於0的一個根 由此開啟了複數概念 但是i和0可以比較大小嗎 我們討論了三種情況 都得到矛盾 看來i和0無法比較大小 也因此i在數線上無法找到相對的位置 因為3大於2 所以3加i大於2加i 請回答對或錯 答案是錯 事實上像3加i或2加i 這些含有虛數部分的數 在數線上沒有相對的位置 不過我們想既然所有的實數 都可以表示在數線上 進而發展了數線上的 幾何意涵與性質 那麼複數是不是也能有類似的性質呢 前面的單元我們將實數系 擴展成複數系 說明了對所有複數z 都能表示成a加bi的形式 其中a b為實數 a稱為z的實部 記作Re b稱為z的虛部 記作Im 19世紀初 數學家高斯與阿爾岡 跳脫了單一數線的觀點 將複數帶入平面坐標當中 他們將複數a加bi 其中a b為實數 一一對應到坐標平面上的點 同樣地坐標平面上任意一點 也有一個複數z等於a加bi和它對應 例如 2加3i可對應平面上的點 而平面上的點 則可對應複數-3加i 又譬如說x軸上的點 代表實數4 y軸上的點 代表純虛數2i 當坐標平面的每一個點 都對應到一個複數a加bi時 我們稱這個平面為 複數平面或高斯平面 當中x軸上的每一個點所對應的複數 可以寫成a加0i 因為虛部為0所以是實數 因此x軸又稱為實軸 而y軸上除原點外的每一個點 所對應的複數0加bi 因為實部為0 所以是純虛數 因此y軸又稱為虛軸 當坐標平面上的P點 對應複數z等於a加bi時 稱a加bi為P點的複數坐標 記為P或P 舉例來說我們依序在複數平面上 標出A點 B點 C點 及D點 在複數平面上有A B C D四點 試問-3加i 2i 4 2加3i 分別所代表的是那個點 在數線上實數x的絕對值 代表x到原點的距離 同樣地在複數平面上 我們定義複數z等於a加bi a b為實數的絕對值 為點與的距離 也就是z的絕對值等於根號a平方加b平方 舉例來說若z等於2減3i 試求z的絕對值 由定義知 z的絕對值等於根號2平方加-3的平方 等於根號13 數線上x減y的絕對值 為兩實數x y所代表點之間的距離 複數平面上有類似的結果 若兩複數z 與z 的標準式分別為 a加bi與c加di 則可得z 減z 等於括號a減c加括號b減di 依照複數絕對值的定義可知 z 減z 的絕對值 等於根號a減c括號的平方 加括號b減d括號的平方 它代表在複數平面上兩點 z 與z 的距離 設複數平面上兩點A點 和B點 求線段OA 線段OB 線段AB的值 設z 等於2加3i和z 等於5減i 根據複數絕對值的定義 線段OA等於z 的絕對值 等於根號2平方加3平方 等於根號13 同理線段OB等於5減i的絕對值 等於根號26 而線段AB等於z 減z 的絕對值 等於-3加4i的絕對值 等於5 以前我們有學過一些簡單的幾何圖形 在複數平面上 我們也可以用複數與它的絕對值 來表示這些幾何圖形 舉例來說 在複數平面上 所有滿足方程式z減i的絕對值 等於z加1的絕對值的複數z 形成什麼圖形呢 我們有兩種解法 解法一 我們將方程式 z減i的絕對值等於z加1的絕對值 改寫為z減括號0加i的絕對值 等於z減括號-1加0i的絕對值 由此可知 複數平面上點P分別到 點A與點B的距離相等 也就是說點P 位在線段AB的中垂線上 反之位在線段AB中垂線上的點 也都滿足此方程式 因此所有滿足方程式的複數z 會形成線段AB的中垂線 故其圖形為一直線 解法二 我們利用代數運算也能得到 滿足方程式的複數z 在複數平面上形成一直線 解法如螢幕中所示 我們接下來看複數絕對值的運算性質 這些性質證明 有興趣的同學可以按下暫停鍵學習 我們現在就逐項帶過 設z為任意複數 則z的絕對值等於z bar的絕對值 大於等於0 且僅當z等於0時 z的絕對值等於0 設z為任意複數 則z的絕對值的平方 等於z乘以z bar 設z w為任意複數 則z乘以w的絕對值 等於z的絕對值乘w的絕對值 設z w為任意複數 則w分之z的絕對值 等於w的絕對值分之z的絕對值 其中w不等於0 設z為任意複數 則z的n次方的絕對值 等於z的絕對值的n次方 其中n為正整數 最後我們再請同學看一次 複數絕對值的運算性質 接下來我們就要做題目喔 試求下列各複數的絕對值 第一題 z 等於括號1減根號3i 乘括號5加12i 利用性質可得 z 的絕對值等於1減根號3i的絕對值 乘5加12i的絕對值 等於26 第二題 z 等於1加i分之括號3減4i 乘括號2減2i 利用性質與可得 z 的絕對值等於1加i的絕對值 分之3減4i的絕對值 乘2減2i的絕對值 等於10 第三題 z 等於括號1加i的10次方 利用性質可得 z 的絕對值等於1加i的絕對值的10次方 等於32 試求下列各複數的絕對值 複數平面或高斯平面 當坐標平面的每一個點 都對應到一個複數a加bi時 我們稱這個平面為複數平面或高斯平面 複數絕對值 在複數平面上 我們定義複數z等於a加bi 其中a b為實數的絕對值 為點與原點的距離 也就是z的絕對值 等於根號a平方加b平方 若兩複數z 與z 的標準式分別為 a加bi與c加di 則可得z 減z 等於 括號a減c加上括號b減d乘以i 依照複數絕對值的定義可知 z 減z 的絕對值 等於根號a減c的平方 加b減d的平方 它代表在複數平面上兩點z 與z 的距離 複數絕對值的運算性質 設z w為任意複數 則下列性質成立 在複數平面上 所有滿足方程式 z減2加i的絕對值等於3的複數z 形成什麼圖形 答案是圓形 詳解如螢幕中呈現 各位同學 我們這個單元介紹了 複數平面及複數的絕對值 接下來我們會介紹更多 有關複數的幾何性質 請大家拭目以待 那麼我們下次再見囉