高一時我們曾經介紹

平面直角坐標與極坐標的關係

當坐標平面上點P的極坐標為

當r大於0

θ大於等於0

小於2π時

由三角比的定義可得

a等於r cosθ

b等於r sinθ

r等於根號a平方加b平方

所以我們得到P點的直角坐標為

前面的單元我們提到

任意複數z等於a加bi

其中a b為實數

可以一一對應到坐標平面上的點

並建構了複數平面

剛剛的練習中

我們知道平面直角坐標

與極坐標的轉換

既然複數a加bi可以一一對應到

坐標平面上的點

那麼我們是不是可以將複數a加bi

a b為實數

用r θ來表示

舉例來說

複數平面上點P

它在直角坐標平面上對應點

P

在前面的練習我們知道

P的極坐標為

所以由三角比的定義可得

3等於2根號3cos 6分之11π

負根號3等於2根號3sin 6分之11π

因此我們得到

3減根號3i等於

2根號3乘上括號cos 6分之11π

加isin 6分之11π

我們整理一下

複數平面上點z等於a加bi

其中a b為實數

可以一一對應到坐標平面上的點

由三角比的定義得知

a等於r cosθ

b等於r sinθ

其中r等於根號a平方加b平方

因此在複數平面上

點z等於a加bi

也可以用r與θ表示

也就是a加bi等於

r乘上括號cosθ加isinθ

因為r乘上括號cosθ加isinθ

是複數z等於a加bi

的極坐標的表示法

我們稱r乘括號cosθ加isinθ

為z的極式

其中r等於z的絕對值

等於根號a平方加b平方

稱為z的向徑或絕對值

θ稱為z的輻角

記作arg

另外要注意

習慣上複數z寫成極式的樣子時

i要寫在sinθ前面喔

前面的測驗中

複數z等於1加i

落在有向角45度

等於4分之π的終邊上

且z的絕對值等於根號1平方加1平方

等於根號2

因此複數z等於1加i

也可表示為根號2乘上括號

cos45度加isin45度

或用弧度表示為

根號2乘上括號

cos4分之π加isin4分之π

我們在高一有學過

同界角的概念

45度與45度加360度

等於405度為同界角

其三角比的值相等

因此z等於1加i的極式也可表示為

z等於根號2乘上cos405度

加isin405度

所以極式的表示法並不唯一

要注意

若θ為非零複數z的輻角

則θ加2kπ

k為整數

亦為z的輻角

因此極式的表示法並不唯一

因此我們特別規定一下

有關複數極式的定義

任意非零複數z等於a加bi

a b為實數

我們可將複數z表示為

z等於r乘上括號cosθ加isinθ

稱為複數z的極式

其中r等於z的絕對值

等於根號a平方加b平方

其中r大於0

稱為z的向徑或絕對值

θ稱為複數z的輻角

當θ大於等於0度

小於360度時

我們特別稱此輻角為z的主輻角

以Arg表示

特別注意0的極式為

0乘上括號cosθ加isinθ

其向徑為0

輻角θ為任意實數

不規定主輻角

這裡有一點要特別注意

當將非零複數化為極式

z等於r乘上括號cosθ加isinθ時

須滿足r大於0

而cosθ sinθ角度必須相同

並且以r cosθ為實部

r sinθ為虛部

以加號連接

否則必須進行調整

舉例來說

我們將下列各複數表為極式

輻角取主輻角

第題 3乘上括號sin40度加icos40度

第題 4乘上括號cos20度減isin20度

第題我們利用三角比的換算公式

餘角關係

最後得到3乘上括號sin40度加icos40度

等於3乘上括號cos50度加isin50度

第題我們利用三角比的換算公式

負角關係及同界角

最後得到4乘上括號cos20度減isin20度

等於4乘上括號cos340度加isin340度

如螢幕上呈現的圖

複數平面上三角形ABC為正三角形

O為外心

其中A B C的複數坐標分別為z w 5

寫出複數z w z bar iw的極式

輻角取主輻角並以弧度表示

複數極式的定義

任意非零複數z等於a加bi

a b為實數

我們可將複數z表示為

z等於r乘上括號cosθ加isinθ

稱為複數z的極式

其中r等於z的絕對值

等於根號a平方加b平方

其中r大於0

稱為z的向徑或絕對值

θ稱為複數z的輻角

當θ大於等於0度小於360度

θ大於等於0小於2π

我們稱為此輻角為z的主輻角

以Arg表示

各位同學

這支影片介紹了如何將複數轉換成極式

當中複數的向徑與輻角

分別賦予複數在幾何意義上

距離與方位的概念

這在接下來的單元裡

我們會有進一步的說明

那麼我們下次再見囉