各位同學前面的單元我們提到

任意複數z等於a加bi

其中a b為實數

可以一一對應到坐標平面上的點

因而建構了複數平面

然而在高二我們也提到過

平面向量也可以用

坐標平面上的點坐標來表示

也就是向量坐標化的概念

舉例來說

如螢幕上的圖

當我們把向量OP放在坐標平面上

向量OP的始點O

位於坐標平面原點

我們可以看到終點P的直角坐標為

此時我們可以定義向量OP為

這支影片的重點

在於介紹複數加減法運算

與幾何意義

由前面我們得知

坐標平面 複數平面及平面向量

有這層的對應關係

因此就讓我們先來複習一下

有關向量加減法的概念

由前面的介紹

複數a加bi除了對應平面上的點

還可以與向量ab來對應

例如我們在複數平面上

標出複數P Q

R S

所代表的點

如螢幕所示

由於向量坐標化

以及複數與坐標平面的對應關係

我們可以得到4加i對應到向量

1加3i對應到向量

5i對應到向量

-4對應到向量

複數平面上P點與Q點

所對應的平面坐標分別為與

由向量的加法得知

加上等於

將複數的加法比對

發現複數的加法可以對應到

向量加法的概念

4加i相當於向量OP

等於

且1加3i相當於向量OQ

等於

而4加i加1加3i等於5加4i

相當於向量OP加向量OQ

也就是向量OT

等於

同理複數的減法可以對應到

向量減法的概念

由向量的減法得知

減等於

將複數的減法比對

發現複數的減法

可以對應到向量減法的概念

4加i減1加3i等於3減2i

相當於向量OP減向量OQ

也就是向量OU等於

從另一個觀點我們可以將

向量OP減向量OQ

看成是向量OP加上-1乘上向量OQ

而-1乘上向量OQ等於

就相當於-1減3i

也就是-1乘上1加3i

所以向量OP減向量OQ

等於向量OP加上-1乘上向量OQ

相當於4加i加上-1減3i

等於3減2i

所以由前面的例子得知

因為每一個複數z等於a加bi

對應平面上一個點P

且點P又與其位置向量

向量OP等於一一對應

因此複數z 等於a加bi

z 等於c加di

對應向量OP等於

向量OQ等於

故z 加z 等於a加c加b加d乘i

對應向量OP加向量OQ

等於

在複數平面上的圖形如螢幕所示

同理z 減z 等於a減c加上b減d乘i

對應向量OP減向量OQ

等於

在複數平面上的圖形如螢幕所示

我們設R點坐標為

從平面向量的觀點可以知道

向量OP加向量OQ

等於等於向量OR

也就是向量OP等於向量OR減向量OQ

等於向量QR

所以OPRQ為一平行四邊形

且OPRQ所對應的

z

z 加z

z

在複數平面上也是一個平行四邊形

我們設U點坐標為

從平面向量的觀點可以知道

向量OU等於向量OP減向量OQ

等於等於向量QP

所以OUPQ為一平行四邊形

而且OUPQ所對應的

z 減z

z

在複數平面上也是一個平行四邊形

除了複數加減法在複數平面上

有特殊的幾何含意

事實上共軛複數也是有特殊的幾何含意喔

舉例來說設z等於2加3i

則z的共軛複數z bar

等於2加3i bar

等於2減3i

由定義知z的絕對值等於根號13

同時z bar的絕對值也是根號13喔

我們從螢幕看到z和z bar

在複數平面上的相對位置

剛好就是對稱於x軸實軸

所以任意複數z等於a加bi

與它的共軛z bar等於a減bi的幾何含意

就是對稱於x軸實軸

若複數z 與向量OP等於對應

複數z 與向量OQ等於對應

可得以下結果

複數z 對應向量OP等於

複數z 對應向量OQ等於

複數z 加z 對應向量OP加向量OQ

等於

複數z 減z 對應向量OP減向量OQ

等於

如螢幕所示

當O P Q三點不共線時

四邊形OPRQ與OPTS均為平行四邊形

任意複數z等於a加bi

與它的共軛z bar等於a減bi

對稱於x軸實軸

設z z 為兩任意複數

試證z 加z 的絕對值平方

加z 減z 的絕對值的平方

等於2倍的z 的絕對值平方

加z 的絕對值平方

此為平行四邊形定理的複數形式

各位同學這支影片介紹了

複數的加減法及共軛複數

在複數平面上的幾何意義

不知道你們了解了嗎

接下來的單元裡

我們將利用複數的極式

來探討複數的乘除法運算

那麼我們下次再見囉