在前面的單元我們提到

複數a加bi

其中a b為實數

除了對應坐標平面上的點外

還可以與向量ab來對應

同時也利用複數的加減法

對應到向量加減法的概念

並探討其幾何意義

說到幾何意義

往往都會提到距離與方位的性質

我們在前面也提到

利用絕對值及角度來表示複數

也就是複數的極式

我們現在就來做一道題目

幫各位同學複習吧

前面的測驗中

我們知道複數z的主輻角為30度

向徑2

而複數w的主輻角為120度

向徑2根號3

當我們計算z乘以w時

先利用乘法的分配律得到

zw等於-6加2根號3i

當我們將z乘以w化成極式後

發現複數zw的主輻角為150度

向徑4根號3

比照一下z及w的極式

發現zw的輻角正好是z和w輻角的和

而zw的向徑正好是z和w向徑的乘積

怎麼那麼巧

兩個複數極式的乘法

居然有這樣的關係

這支影片就讓我們來探討一下

複數極式的乘法運算性質

我們將兩複數z z 用極式表示

即z 等於r 括號cosθ 加isinθ

z 等於r 乘以括號cosθ 加isinθ

則經乘法分配律的運算得到

z z 等於

r r 乘cosθ cosθ

減sinθ sinθ

加上i乘以括號sinθ 乘cosθ

加cosθ 乘sinθ

而和角公式cosθ 加θ

等於cosθ cosθ 減sinθ sinθ

且sinθ 加θ

等於sinθ cosθ 加cosθ sinθ

最後得到z z 等於

r r 乘括號cosθ 加θ

加上isinθ 加θ

同樣的手法當兩複數z z 用極式表示

其中z 不等於0

則z 除以z 等於

r 除以r 乘以cosθ 減θ

加isinθ 減θ

對推導公式有興趣的同學

可以按下暫停鍵仔細推敲喔

所以複數極式的乘法與除法的運算

當z 等於r 乘以括號cosθ 加isinθ

z 等於r 乘以括號cosθ 加isinθ

則z z 等於r r 乘括號cosθ 加θ

加isinθ 加θ

z 除以z 等於r 除以r

乘上括號cosθ 減θ

加isinθ 減θ

其中z 不等於0

有了前面的公式

當複數表為極式時

計算它們的乘積與商是非常方便的

舉例來說

設z 等於3乘以括號cos210度加isin210度

z 等於2乘以括號cos120度加isin120度

試將下列複數z z

及z 除以z 化為標準式

a加bi的形式

我們將z z 的極式相乘時

其乘積z z 的向徑

等於z 與z 的向徑相乘

也就是等於6

而z 乘以z 的輻角

可以為z 與z 的輻角相加

也就是等於330度

最後得到z z 等於

3根號3減3i

複數z 除以z 的向徑

等於z 與z 的向徑相除

也就是等於2分之3

而z 除以z 的輻角

為z 的輻角減去z 的輻角

也就是等於90度

最後得到z 除以z

等於2分之3i

不過請注意

使用極式的乘法與除法公式之前

必須先將複數表為正確的極式形式

舉例來說

設z 等於12乘括號cos20度加isin20度

及z 等於3乘以括號sin80度加icos80度

試求z z 的值

先將z 表為極式

經運算最後得到

3乘以括號cos10度加isin10度

再利用極式的乘法公式

將z z 的極式相乘時

其乘積z 乘z 的向徑等於36

而z 乘z 的輻角等於30度

最後得到z 乘z 等於

18根號3加18i

最後我們總結

當兩個複數z z 的極式相乘時

其乘積z z 的向徑等於

z 與z 的向徑相乘

而z z 的輻角可為z 與z 的輻角相加

複數z 除以z 的向徑等於

z 與z 的向徑相除

而z 除以z 的輻角

可為z 的輻角減去z 的輻角

公式如螢幕上所示

要使用極式的乘法與除法公式之前

要先將複數表為極式形式再運算

前面我們有提到過

利用複數的加減法對應到

向量加減法的概念

並探討其幾何意義

那麼複數的乘法及除法運算

是否也有幾何意義呢

在下個單元我們就會進一步說明

那麼我們就拭目以待吧