各位同學

前面的單元我們提到

任意複數z等於a加bi

其中a b為實數

可以一一對應到坐標平面上的點

因而建構了複數平面

舉例來說

已知在複數平面上

P點代表複數z等於3加2i

就是對應到坐標平面上的點

如螢幕中呈現

那麼複數平面上

z的共軛複數-z i乘z

及2z的位置為何

解答

因為z等於3加2i

所以z的共軛複數等於3減2i

-z等於-3減2i

iz等於-2加3i

2z等於6加4i

它們在複數平面上的位置如圖所示

觀察前面例子

各點在複數平面上的位置可以得知

z的共軛複數和z對稱於實軸

且-z和z對稱於原點

z繞原點逆時針旋轉90度

可以得到iz

因為第一象限上的z

與第二象限上的iz

與原點的連線之斜率

分別為3分之2與-2分之3

它們會垂直

且z與iz到原點的距離相等

故z繞原點逆時針旋轉90度

可以得到iz

z以原點為中心伸縮2倍可以得到2z

這些事實對於一般的複數都會成立

z的共軛複數和z對稱於實軸

-z和z對稱於原點

z繞原點逆時針旋轉90度可以得到iz

z以原點為中心伸縮r倍可以得到rz

其中r大於0

有關z的共軛複數及-z

與z在複數平面上的對稱性

同學們可以自己證明看看

至於iz及rz r大於0

在複數平面上的幾何意義

就是複數z在複數平面上

旋轉及伸縮的部分

無論是iz還是rz

我們可以想成兩個複數w及z相乘

所以我們現在想要知道

w乘以z後

對於z而言

在複數平面上的幾何意義

我們先來看一道例題

設w等於1加i

在複數平面上有O點

A點及B點)

則第一題 w的極式為何

將輻角化為主輻角

第二題 線段OA及線段OB

線段長度為何

第三題 角AOB的角度為何

第一題 我們知道複數w等於1加i的主輻角

為45度

向徑w的絕對值等於根號2

因此我們將w等於1加i化成極式為

根號2cos 45度加isin 45度

第二題 因為A點在複數平面上坐標為

所以線段OA長度為13

另外由於B點在複數平面上坐標為)

我們利用複數絕對值運算得到

線段OB長度為13根號2

我們可以將w等於1加i帶入

得B點坐標為

因此在複數平面上

A點

及B點

對應到直角坐標

分別為A點

及B點

我們利用向量的內積得到

角AOB等於45度

我們觀察到線段OB線段長

與線段OA的線段長的比值

為根號2

剛好是複數w的向徑

也就是w的向徑

是12+5i向徑的根號2倍

而角AOB等於45度

剛好是複數w的主輻角

這會是巧合嗎

我們上支影片有提到

當兩個複數z z 的極式相乘時

其乘積z 乘z 的向徑

等於z 與z 的向徑相乘

而z z 的輻角為z 與z 的輻角相加

z z 及z z 在複數平面上的示意圖

如螢幕上呈現

所以我們可以理解z 乘z

就是以原點O為中心

將z 旋轉θ 角

也就是z 的輻角後

再伸長或縮短r 倍

也就是z 的向徑後所得的點

我們舉個例子來練習

如圖所示

OABC為一正方形

已知A點

試求B點的坐標

因為A點可視為複數

且正方形OABC中

線段OA等於線段AB等於5

所以線段OB等於5根號2

且角AOB等於45度

因此以原點O為中心

將A點旋轉45度

再將向徑伸長為根號2倍

即得B點

以複數乘法計算

可得3加4i乘以根號2cos 45度加isin 45度

等於-1加7i

故B點坐標為

在複數平面上

z z 就是以原點O為中心

將z 旋轉θ 角

也就是z 的輻角後

再伸縮r 倍後所得的點

關於在複數平面上

複數的乘法運算的幾何意義

就到此告一段落

在下個單元我們就進入到

複數高次方的運算

那麼我們就下一次再見囉