各位同學

我們在前兩支影片有提到

當兩個複數z z

寫成極式相乘時

其乘積z z 的向徑

等於z 與z 的向徑相乘

且z z 的輻角為z 與z 的輻角相加

同時也說明了z z

及z 乘z 在複數平面上的幾何意義

我們來複習一下

已知z 等於2乘以括號cos70度加isin70度

及z 等於3乘以括號sin10度加icos10度

試求z 乘z 的值

我們先將z 表示為極式

經運算最後得到

z 等於3乘以括號cos80度加isin80度

再利用極式的乘法公式

得到z 及z 的乘積z 乘z

向徑等於6

而z 乘z 的輻角等於150度

最後得到z 乘z 等於

-3根號3加3i

那麼複數z的整數次方該如何計算呢

還有z的整數次方在複數平面上

有什麼樣的幾何意義呢

我們定義一下複數z的整數次方

先從n為正整數開始

假如n為正整數

那麼z的n次方就是n個z相乘

顯然這樣的定義仍滿足指數律

由前面的測驗中

我們可以利用和平方公式

將括號1加根號3i的平方展開

得到-2加2根號3i的答案

我們也可以將括號1加根號3i的平方

看成兩個1加根號3i相乘

然後將1加根號3i表示成極式

2乘以括號cos60度加isin60度

再利用複數極式的乘法性質

得到-2加2根號3i的答案

假如我們要計算

括號1加根號3i的12次方

直接展開可就沒那麼容易了

這時候我們將1加根號3i變成極式

2乘以括號cos60度加isin60度

再利用複數極式的乘法性質

來計算括號1加根號3i的12次方

就顯得方便許多

這就是我們這支影片的重點

棣美弗定理

我們要計算複數z的整數次方

先從正整數來看

我們假設複數z轉換成極式為

r乘以括號cosθ加isinθ

利用指數律及複數極式的乘法性質

觀察到z平方等於r平方乘括號

cos2θ加isin2θ

z三次方等於r的三次方乘上括號

cos3θ加isin3θ

z的四次方等於r的四次方乘括號

cos4θ加isin4θ

依此類推

由這些式子我們觀察

猜測z的n次方等於r的n次方

乘括號cosnθ加isinnθ

其中n為正整數

這就是棣美弗定理

也就是若z等於r乘以括號cosθ加isinθ

其中r大於0

則對任意正整數n

z的n次方等於r的n次方

乘括號cosnθ加isinnθ

我們利用數學歸納法

來證明這個結果

對證明有興趣的同學

可以按暫停鍵來推敲喔

解答

首先將1加根號3i化為極式

得到1加根號3i等於

2乘以括號cos60度加isin60度

由棣美弗定理就可以得到

括號1加根號3i的12次方

等於4096

事實上棣美弗定理對任意整數均成立

也就是若z等於r乘以括號cosθ加isinθ

其中r大於0

則對任意整數n

z的n次方等於r的n次方

乘上括號cosnθ加isinnθ

不過我們要先仿照實數整數指數的情形

定義對任意非零的複數z

z的零次方等於1

且z的-n次方等於z的n次方分之1

其中n為正整數

因為這樣當z等於r乘以括號cosθ加isinθ時

z的0次方等於1

等於r的0次方乘括號

cos0乘θ加isin0乘θ

也就是次方代0進去

棣美弗定理成立

同時當次方等於-n時

則由定義z的-n次方等於z的n次方分之1

經化簡後得

z的-n次方等於r的-n次方

乘上括號cos-nθ加isin-nθ

也就是次方代-n進去

棣美弗定理仍然成立

這樣棣美弗定理中的次方n

就可以推廣到任意整數

解答

首先將-1加i化為極式

得到-1加i等於根號2乘以括號

cos135度加isin135度

再利用棣美弗定理

就可以得到

括號-1加i的-6次方

等於-8分之1i

棣美弗定理

若複數z等於r乘以括號cosθ加isinθ

其中r大於0

則對任意整數n

z的n次方等於r的n次方

乘括號cosnθ加isinnθ

這個單元我們利用棣美弗定理

進行複數高次方的運算

接下來的影片

我們將利用棣美弗定理

求複數的n次方根

那麼我們下次再見囉