前一支影片提到 利用棣美弗定理 能讓我們方便地計算 任何複數的n次方 n為正整數 那麼複數的n次方根 n為正整數 我們要如何計算 先前我們在國中有學過 4的平方根就是正負2 而正負2正好就是方程式 x平方等於4的兩根 按照這個想法 假如我們想求任意複數α的n次方根 n為正整數 就等於在求方程式 x的n次方等於α的根 在前面的幾個單元我們知道 當n為正整數 α是非零複數 由代數基本定理得知 n次方程式x的n次方等於α 共有n個根 我們把這n個根稱為α的n次方根 我們先從求1的n次方根開始 例如當n等於2時 x平方等於1的兩根為1及-1 即1的二次方根為1及-1 我們可以將這兩個根 標示在複數平面上 如螢幕上的圖 當n等於3時 因為x三次方減1等於括號x減1 乘括號x平方加x加1 所以x三次方減1等於0的根為1 -2分之1加2分之根號3i -2分之1減2分之根號3i 也就是1的三次方根為1 -2分之1加2分之根號3i -2分之1減2分之根號3i 我們將這三個根表示成極式 得到1等於cos0度加isin0度 -2分之1加2分之根號3i 等於cos120度加isin120度 及-2分之1減2分之根號3i 等於cos240度加isin240度 我們同樣地將這三個根 標示在複數平面上 如螢幕上的圖 前面所提到的方程式 x的n次方等於1 n等於2 3 4 都能藉由因式分解求根 但是次方更高時 例如x的五次方等於1 就不容易利用因式分解求根 因為x的五次方減1 等於括號x減1 乘括號x的四次方加x三次方 加x平方加x加1 除了1以外 其他4個五次方根 就必須從方程式 x四次方加x三次方加x平方 加x加1等於0中求得 前面我們提到棣美弗定理 它專門用來求複數次方的問題 這時候我們考慮利用棣美弗定理 處理1的n次方根 我們就以棣美弗定理 求1的五次方根為例 也就是求解x的五次方等於1 設z為x五次方等於1的根 我們將複數z表示成極式 令z等於r乘以括號cosθ加isinθ 因此z的五次方等於1 因為1的複數極式 為1等於1乘以括號cos0加isin0 所以由棣美弗定理得 z的五次方等於r的五次方 乘cos5θ加isin5θ 等於1乘以括號cos0加isin0 當兩複數相等時 則兩複數向徑相等且輻角為同界角 所以r的五次方等於1 5θ等於2kπ 其中k為整數 因為r為正數 所以推得r等於1 且θ等於5分之2kπ 因此1的五次方根為 cos5分之2kπ加isin5分之2kπ 其中k為整數 然而cos5分之2kπ加isin5分之2kπ 與k有關 因此我們就以z 表示 假如k代0進去 得z 等於cos0加isin0等於1 k代1進去 得z 等於cos5分之2π加isin5分之2π k代2進去 得z 等於cos5分之4π加isin5分之4π k代3進去 得z 等於cos5分之6π加isin5分之6π k代4進去 得z 等於cos5分之8π加isin5分之8π 當k代5進去 我們發現z 等於z 繼續k等於6 7 8 9 10進去 得到z 等於z z 等於z z 等於z 我們發現1的五次方根的值 好像有一個週期性 這是因為sin與cos的函數 都是週期為2π的週期函數 所以對於任意整數m z 等於z z 等於z z 等於z z 等於z 論證過程如螢幕上呈現 因此1的五次方根可以寫成 z 等於cos5分之2kπ加isin5分之2kπ k等於0 1 2 3 4 順帶一提 前面提到x五次方減1 等於括號x減1 乘括號x四次方加x三次方 加x平方加x加1 所以方程式x四次方加x三次方 加x平方加x加1等於0的解就是 z z z z 其中z 等於cos5分之2kπ加isin5分之2kπ 同時我們也可以將x四次方加x三次方 加x平方加x加1因式分解為 括號x減z 乘括號x減z 乘括號x減z 乘括號x減z 我們接下來再來看1的五次方根其幾何意義 我們將z z z z z 標示在複數平面上 如圖所示 我們可以看到z z z z z 正好在以原點為圓心的單位圓上 這是由於z 的向徑 也就是z 的絕對值等於1 從螢幕中可觀察到 1的五次方根所對應的點連接起來 可得到單位圓內接正五邊形 這是由於z z z z z 的主輻角 分別為0 5分之2π 5分之4π 5分之6π 5分之8π 我們可以想像從z 等於1 開始連續繞原點逆時針轉5分之2π 依序得到z z z z 所以假如我們要求1的n次方根 仿照以上的做法 可以得到1的n次方根為 z 等於cos n分之2kπ加isin n分之2kπ k等於0 1 2一直到n減1 而將1的n次方根畫在複數平面上 它們所代表的點 剛好是內接於單位圓的 正n邊形之n個頂點 且其中一個頂點所對應的複數為1 這個單元我們利用棣美弗定理 求1的n次方根 並說明了1的n次方根 在複數平面上的幾何意義 下一支影片 我們將進一步利用棣美弗定理 求其他複數α的n次方根 那麼我們拭目以待喔 再見