各位同學之前提到 對於任何一個大於0的實數a來說 a的平方根就是正負根號a 前面幾個單元 我們也定義了負實數的平方根 從而引入i等於根號-1的概念 也就是對於a大於0來說 -a的平方根就是正負根號ai 這樣對於任何實數的平方根 我們都有定義 那麼任何複數的平方根呢 舉例來說 試求3加4i的平方根 我們假設z為3加4i的平方根 所以z為x平方等於3加4i的一個根 假如z的標準式為a加bi 其中a b為實數 帶入x平方等於3加4i後得到 括號a加bi的平方等於3加4i 展開後得到 a平方減b平方加2abi 等於3加4i 由複數的相等得知 實部相等 a平方減b平方等於3 且虛部相等 2ab等於4 由式b等於a分之2 帶入式得 a平方減括號a分之2的平方等於3 經化簡後得 a四次方減3a平方減4等於0 所以a平方等於4或-1 因為a為實數 所以a平方等於-1不合 因此a等於正負2 再帶回b等於a分之2 得數對等於或 所以3加4i的平方根為 2加i或-2減i 我們將x平方減括號2減4ix減6減8i等於0 對x做配方如螢幕所示 得到括號x減括號1減2i的平方 等於3加4i 由前面例子得知 3加4i的平方根為2加i或-2減i 所以x減括號1減2i 等於2加i或-2減i 最後化簡得 x等於3減i或-1減3i 在前面我們利用假設 複數平方根標準式a加bi 帶入方程式並展開括號a加bi的平方 再利用複數的相等來求a和b 可是當我們要求複數的n次方根 假如同樣也是利用 假設複數n次方根標準式的方法 要展開括號a加bi的n次方 再利用複數的相等求a和b 在運算上就顯得非常繁複 在前一支影片 我們利用棣美弗定理求1的n次方根 並說明了1的n次方根 在複數平面上的幾何意義 那麼任何複數的n次方根 是不是可以仿照 求1的n次方根運算方法求得 舉例來說 試求8i的三次方根 並將8i的三次方根 標示在複數平面上 設z為8i的三次方根 所以z為x三次方等於8i的根 我們將複數z表示成極式 令z等於r乘以括號cosθ加isinθ 因此z的三次方等於8i 由於8i的複數極式為 8乘括號cos90度加isin90度 由棣美弗定理得 z的三次方等於 r的三次方乘括號cos3θ加isin3θ 等於8乘以括號cos90度加isin90度 當兩複數相等時 兩複數向徑相等且輻角為同界角 因此r的三次方等於8 且3θ等於90度加360度乘以k 其中k為整數 由r大於0我們推得r等於2 且θ等於30度加120度乘k 因此8i的三次方根為 2乘括號cos30度加120度乘k 加isin30度加120度乘k 其中k為整數 然而這樣的複數與k有關 因此我們就以z 表示 接下來當k代0進去 我們得到z 等於 2乘括號cos30度加isin30度 等於根號3加i k代1進去 得到z 等於2乘括號cos150度加isin150度 等於負根號3加i k代2進去 得到z 等於2乘括號cos270度加isin270度 等於-2i k代3進去 得到z 等於2乘括號cos30度加360度 加isin30度加360度 等於2倍的括號cos30度加isin30度 等於根號3加i 我們發現z 等於z 繼續將k等於4 5 6帶進去 依序得到 z 等於z z 等於z 等於z 我們發現 8i的三次方根的值 好像有一個週期性 這是因為sin與cos函數 都是週期為2π的週期函數 所以對於任意整數m z 等於z z 等於z 論證過程如螢幕上呈現 因此8i的三次方根可以寫成 z 等於2乘括號cos30度加120度乘k 加isin30度加120度乘k k等於0 1 2 我們將8i的三次方根z z z 標示在複數平面上 恰好是以原點為圓心 半徑為2的圓內接正三角形的三個頂點 如螢幕所示 詳解如螢幕上呈現 我們可以得到 -8加8根號3i的四次方根為 z 等於2乘上括號cos30度加90度乘k 加isin30度加90度乘k k等於0 1 2 3 因為z 的向徑為2 所以z 都落在以原點為圓心 半徑為2的圓上 而且z 的輻角分別為 30度 120度 210度 300度 所以在複數平面上 這四個根剛好是以原點為圓心 半徑為2的 圓內接正方形之四個頂點 由前面的例子中 我們一般化求複數的n次方根 得到下面的結果 若複數z等於r乘以括號cosθ加isinθ 其中r大於0 則n的次方根如螢幕上呈現 n個n次方根的向徑都是n次根號r 所以z 都落在以原點為圓心 半徑為n次根號r的圓上 且正好是該圓的 內接正n邊形之n個頂點 回顧這兩支影片 我們要求複數α的n次方根 就等於在求n次方程式 x的n次方等於α的解 其中n為正整數 α為非零整數 由代數基本定理得知 n次方程式x的n次方等於α 共有n個根 我們把這n個根稱為α的n次方根 我們利用棣美弗定理 求複數α的n次方根 並說明了α的n次方根 在複數平面上的幾何意義 下一支影片我們將進一步說明 複數的幾何問題應用 那麼我們拭目以待喔 再見