各位同學 在前面的單元我們提到 1的n次方根 在複數平面上所對應的點 為內接於單位圓之 正n邊形的n個頂點 且其中一個頂點 所對應的複數是1 這就是1的n次方根 在複數平面上的幾何意義 例如1的5次方根為z 等於1 z z z z 在複數平面上所對應的點 如螢幕呈現 其中z 等於cos 5分之2kπ 加isin 5分之2kπ k等於0 1 2 3 4 1的5次方根也就是方程式 x的五次方減1等於0的根 對應在複數平面上 會形成一個正五邊形 那麼一般的n次方程式的根 對應在複數平面上 會不會有類似的情況呢 這支影片就讓我們來舉一些方程式的例子 來談談複數的幾何問題應用 我們先來看 在之前的影片有提及的一道 延伸思考的題目 我們由之前的影片得知 1的八次方根 也就是x八次方減1等於0的根為 z 等於cos 8分之2kπ 加isin 8分之2kπ k等於0 1 2 一直到7 如圖設z 對應在複數平面的點為A z 對應在複數平面的點為B 在三角形AOB中 因為1的八次方根在複數平面上 恰好是一個單位圓 內接正八邊形的八個頂點 所以角AOB等於45度 由餘弦定理得知線段AB長為 根號2減根號2 所以此正八邊形的周長為 8根號2減根號2 同樣地在三角形AOB中 由面積公式得 三角形AOB面積等於4分之根號2 所以此正八邊形的面積 2根號2 前面提到x的n次方減1等於0的根 在複數平面上所對應的點 能圍成一正n邊形 其他的方程式的根 在複數平面上所對應的點 是否能圍成一個多邊形呢 譬如說 x六次方加x四次方加x二次方加1等於0 所有的根在複數平面上 是否能圍成一個多邊形 假如可以 那麼此多邊形的周長及面積為何 在這之前 我們先來複習一條公式 也就是xn次方減1可以因式分解成 括號x減1乘以括號xn減1次方 加xn減2次方 一直加到x加1 這是一條恆等式 我們也可以用高一所學過的 等比級數公式來理解 由這條恆等式得到多項式 x六次方加x四次方加x平方加1 乘以x平方減1後 就得到x八次方減1 所以x六次方加x四次方 加x平方加1等於0的根 也是x八次方減1等於0的根喔 前面我們提到 x八次方減1等於0的根為 z 等於cos 8分之2kπ 加isin 8分之2kπ k等於0 1 2 一直到7 在複數平面上所對應的點 能圍成一正八邊形 如螢幕上呈現 可是x八次方減1等於0的根 不一定是x六次方加x四次方 加x平方加1等於0的根 因為x八次方減1等於0的根中 1及-1是x平方減1等於0的根 而x六次方加x四次方 加x平方加1等於0 得到x等於z z z z z z 沒有1及-1的根 所以我們得到x六次方加x四次方 加x平方加1等於0的根 在複數平面上能圍成一個六邊形 它是由兩個等腰直角三角形 三角形BOH及三角形DOF 以及四個面積大小一樣的三角形 即三角形BOC 三角形COD 三角形FOG 三角形GOH所組成的 由餘弦定理得知 線段BC等於根號2減根號2 又線段BH等於線段DF等於根號2 正六邊形的周長 等於4根號2減根號2 加2根號2 由面積公式得知 三角形BOC面積等於4分之根號2 且三角形BOH面積 等於三角形DOF面積 等於2分之1 這六邊形面積等於根號2加1 詳細的運算過程如螢幕所示 我們接下來要考慮 半徑為1的圓內接正五邊形 求任一頂點到另外四個頂點的長度乘積 也就是如螢幕上呈現的 求線段AB 線段AC 線段AD 及線段AE的線段長乘積 個別求線段AC 或線段AD的線段長 會利用到餘弦定理 不過只要求這些線段長乘積 我們可以考慮用複數的方法解決 看到正五邊形 我們想到前面提到 x五次方減1等於0的根 z 等於1 z z z z 在複數平面上所對應的點 形成一個正五邊形 其中z 等於cos 5分之2kπ 加isin 5分之2kπ k等於0 1 2 3 4 而x五次方減1 等於括號x減1乘以括號 x四次方加x三次方加x平方加x加1 由於x五次方減1等於0的根 z 等於1 z z z z x五次方減1可以因式分解成 括號x減1乘以括號x減z 乘以括號x減z 對照這兩個等式不難發現 x四次方加x三次方加x平方加x加1 等於括號x減z 乘括號x減z 在複數平面上 線段AB 線段AC 線段AD 及線段AE的線段長度 分別為1減z 的絕對值 1減z 的絕對值 及1減z 的絕對值 再配合前面的這條公式 及絕對值的性質得到 線段AB乘線段AC 乘線段AD乘線段AE 等於5 運算過程如螢幕所示 由前面的例題中 我們解題的結論一般化 並整理出以下重點 如螢幕呈現 考慮半徑為1的圓內接正五邊形 求其中一個頂點A 到另外四個頂點的長度平方和 也就是線段AB的平方 加線段AC的平方 加線段AD的平方 加線段AE的平方的值為何 各位同學 這支影片為複數的幾何問題應用 內容稍微具有挑戰性 同學們用心去思考 定能有一番收穫 有關複數及複數平面 還有其幾何意義 已經全部介紹完畢 不知道同學們有何學習心得 歡迎在底下留言分享 加油 我們下次再見