生活中有各式各樣的曲線

不同的曲線有不同的樣子與特性

希臘著名的學者梅納赫莫斯

用平面以不同的方式

去切割直圓錐面後

發現了一些曲線

由於這些曲線可以由

平面與直圓錐面切割得來

因此稱為圓錐曲線

同學們知道梅納赫莫斯發現的

圓錐曲線有哪些嗎

設L與M是空間中兩條不垂直的相交直線

且銳夾角為α

交點為V

若以L為軸

將M繞著L旋轉一圈

則直線M旋轉形成的曲面

稱為直圓錐面

交點V稱為直圓錐面的頂點

直線L稱為軸線

在曲面上通過頂點的直線

皆稱為母線

平面E與直圓錐面的截痕

我們分下列兩種情形討論

平面E不通過直圓錐面的頂點

當平面E與軸線L垂直

其截痕為一圓

將E稍作轉動使其傾斜

其截痕稱為橢圓

此時平面E不與任何母線平行

將E轉動

使其僅與直圓錐面的一條母線平行

其截痕稱為拋物線

將E繼續轉動

使其與上下兩錐面相交

其截痕稱為雙曲線

E通過直圓錐面的頂點

平面E與直圓錐面只交於頂點

其截痕為一點

將平面E稍作傾斜

使平面E恰含一條母線

其截痕為一直線

將平面E繼續傾斜

使平面E含兩條母線

其截痕為兩相交直線

根據上述的討論

我們知道一個平面與直圓錐面的截痕

有下列幾種情形

當平面不過頂點時

圖形為圓

橢圓

拋物線

以及雙曲線

當平面過頂點時

圖形為一點

一直線

與兩相交直線

其中圓 橢圓 拋物線與雙曲線

稱為圓錐曲線

一點 一直線與兩相交直線

可視為圓錐曲線的退化情形

在生活中有一些光源與它們的外殼

所產生的光源區域邊緣

會是圓錐曲線的一部份

例如從一點發出的光源稱為點光源

手電筒就是一個實際的例子

當我們用點光源照射牆面的時候

隨著手電筒角度的不同

牆面上被照亮區域的邊界

就是圓錐曲線

當手電筒垂直牆面時

牆上被照亮區域的邊界為一圓

隨著手電筒逐漸傾斜

直到與牆面平行時

牆上被照亮區域的邊界

分別出現橢圓

拋物線

與雙曲線的一支

阿波羅尼斯在圓錐曲線論中

提出以不同方向的平面

切割固定圓錐面

來得到各種圓錐曲線

命名拋物線

橢圓與雙曲線

而生活中常可看到圓錐曲線的影子

例如為了美觀浴室中的橢圓鏡

雲霄飛車的軌道

為了平衡引力的制動效果

不能是圓形

必須是橢圓的一部分

雙曲面結構冷卻塔

除此之外

十七世紀德國天文學家克卜勒

在研究行星運動第一定律時

發現行星繞太陽運行的軌道

為橢圓的形狀

義大利物理學家伽利略

在研究物體的斜拋運動時

發現其軌跡為拋物線

圓錐曲線才被發現原來這麼有用

這次的課程中我們介紹了

一個平面與直圓錐面的截痕

有下列幾種情形

當平面不過頂點時

圖形為圓

橢圓

拋物線

以及雙曲線

當平面過頂點時

圖形為一點

一直線

與兩相交直線

其中圓 橢圓 拋物線與雙曲線

稱為圓錐曲線

一點 一直線與兩相交直線

可視為圓錐曲線的退化情形

同學們是不是都學會了呢

我們下次見