各位同學

今天這支影片要來介紹

在我們生活中隨處可見的拋物線

例如當大車進入隧道時

需要特別注意隧道的限制高度

才不會發生意外

而當初在設計隧道時

就需要利用拋物線的概念

去計算隧道高度

除此之外更貼近我們生活的拋物線

會發生在體育課投籃球的時候

當球被拋出去時所形成的運動軌跡

就是拋物線的圖形

不過除了籃球外

其實任何物體斜向拋出時的軌跡

都是拋物線的圖形

這也是為什麼像這樣子的圖形

會稱為拋物線的原因唷

回到拋物線在數學中的呈現方式

當我們將拋球的運動軌跡

放在坐標平面上時

這個軌跡可以以一個二次函數

y等於ax平方加bx加c來表示

所以二次函數的圖形

又可以被稱為拋物線

在這支影片之前

同學們對於拋物線應該也不陌生

還記得國中時曾經學過

可以如何利用二次函數

來判斷拋物線的開口方向嗎

我們知道二次函數

y等於ax平方加bx加c

當a大於0時

拋物線的開口會朝上

當a小於0時

拋物線的開口會朝下

今天這支影片中

除了開口朝上或開口朝下的拋物線外

我們還會來介紹

開口朝其他方向的拋物線唷

我們已經知道二次函數

y等於ax平方加bx加c的圖形

就是拋物線

不過拋物線的定義究竟是什麼呢

設平面上有一直線L及直線L外一點F

則我們可以找到一點P1

到直線L的距離

等於到F點的距離

也可以找到另一點P2到直線L的距離

等於到F點的距離

依此類推

我們可以找到滿足到直線L的距離

等於到F點的距離的所有點P

而這些P點所形成的圖形

就是我們所熟知的拋物線

因此拋物線的定義就是

設平面上有一直線L

及直線L外一點F

則平面上滿足到直線L的距離

等於到F點的距離的所有點

所形成的圖形

稱為拋物線

其中直線L稱為此拋物線的準線

F點稱為此拋物線的焦點

根據這個定義

我們可以得知

拋物線的開口

一定會朝向焦點的方向

接著來看到拋物線的其他要素

首先拋物線是一個線對稱圖形

也就是指在平面上

可以找到一條直線

使得圖形沿著此直線對折後

能夠完全重疊

而對折的這條直線稱為對稱軸

根據線對稱的定義

若A B兩點對稱於此對稱軸

則對稱軸為線段AB之中垂線

那麼在平面上

該如何準確畫出這條直線呢

當我們畫出通過焦點F

且與準線L垂直的直線

此直線就是拋物線的對稱軸

也簡稱為軸

軸與拋物線的交點V

稱為拋物線的頂點

而頂點V與焦點F的距離

即線段VF的長

稱為拋物線的焦距

通常我們會將焦距記為c的絕對值

值得注意的是

假設軸與準線的交點為M

由拋物線的定義可知

線段VF的長等於線段VM的長

也就是說

頂點V即為線段MF的中點

了解拋物線的各個要素之後

一起來練習看看下面這題吧

如圖所示

已知Γ是焦點為F

準線為L x等於5的拋物線

試求拋物線的軸方程式

頂點坐標及焦距

因為拋物線的軸就是通過焦點F

且與準線L垂直的直線

畫出來即可得知軸方程式為

y等於2

接著設軸與準線的交點為M

頂點為V

由圖可知M點坐標為

根據拋物線的定義

因為頂點V為線段FM的中點

所以頂點坐標為V

即頂點坐標V為

而焦距就是頂點V與焦點F的距離

所以焦距c的絕對值等於線段VF的長

等於2

接下來我們再回到剛剛的拋物線

除了前面介紹的幾個要素外

拋物線上任意兩點的連線段

我們稱為弦

若弦有通過拋物線的焦點

則稱為焦弦

若焦弦又垂直於軸

則稱為正焦弦

那麼正焦弦又有什麼特別的性質呢

我們可以看到畫面中的線段AB即為正焦弦

因為線段AB垂直於軸

所以可以知道A B兩點即為對稱點

根據對稱的性質

可知此正焦弦線段AB會被軸垂直平分

所以正焦弦長線段AB的長

等於2倍的線段AF的長

根據拋物線的定義

可知線段AF長等於A點到L的距離

又因為正焦弦線段AB垂直於軸

即線段AB平行於準線L

所以A點到L的距離等於線段FM的長

接著因為頂點V是線段FM的中點

所以線段FM的長等於2倍的線段VF的長

而線段VF的長就是焦距c的絕對值

因此正焦弦長等於4倍的焦距

在今天這支影片中

我們介紹了拋物線的定義

設平面上有一直線L及直線L外一點F

則平面上滿足到直線L的距離

等於到F點的距離的所有點

所形成的圖形

稱為拋物線

其中直線L稱為此拋物線的準線

F點稱為此拋物線的焦點

接著透過拋物線的性質

我們也推導出正焦弦長

等於4倍的焦距

在這支影片中

我們是從幾何定義去看拋物線

而下一支影片中

就會接著介紹拋物線的方程式囉

我們下一支影片再見 掰掰