在上一支影片中 我們從幾何定義 去看了拋物線的圖形 那麼今天這支影片 我們就要來介紹 在數學中該如何以 方程式來表示拋物線 在進入今天影片重點之前 先來複習一下 看看各位同學還記不記得 拋物線的定義 在這支影片中 我們只討論拋物線的對稱軸 與兩坐標軸平行的情況 例如這題 已知一拋物線的焦點為F 準線為L x等於-2 試求此拋物線方程式為何 首先我們可以假設點P 為拋物線上的任一點 接著根據拋物線的定義可知 P點到準線L的距離 會等於P點到焦點F的距離 所以可以列出畫面中的這條等式 將等式兩邊平方 可得括號x加2的平方 等於括號x減2的平方加y平方 再移項整理後可得 y平方等於8x 因為拋物線上任一點P 皆滿足方程式y平方等於8x 故此拋物線方程式即為 y平方等於8x 從這題的例子可以知道 其實拋物線方程式 可由拋物線的定義推導而來 所以我們可以從拋物線的定義 重新來推導一次拋物線方程式 首先來看第一種情況 頂點為原點0 對稱軸為x軸的拋物線 我們假設拋物線Γ的焦點為F 準線為L x等於-c 其中c不等於0 同樣地若點P為拋物線Γ上的任一點 根據拋物線的定義 可以得到x減-c的絕對值 等於根號括號x減c的平方 加括號y減0的平方 將等式兩邊平方可得 括號x加c的平方 等於括號x減c的平方 加y平方 再移項整理後可得 y平方等於4cx 故拋物線Γ的方程式即為 y平方等於4cx 而對稱軸為x軸的拋物線 又分為兩種圖形 當時c大於0時 焦點F在頂點的右邊 所以此拋物線圖形開口向右 當c小於0時 焦點F在頂點的左邊 所以此拋物線圖形開口向左 接著來看第二種情況 頂點為原點0 對稱軸為y軸的拋物線 假設拋物線Γ的焦點為F 準線為L y等於-c 其中c不等於0 若點P為拋物線Γ上的任一點 根據拋物線的定義 可以得到 y減-c的絕對值 等於根號括號x減0的平方 加括號y減c的平方 將等式兩邊平方 可得括號y加c的平方 等於x平方加括號y減c的平方 再移項整理後可得 x平方等於4cy 故拋物線Γ的方程式即為 x平方等於4cy 而對稱軸為y軸的拋物線 也分為兩種圖形 當c大於0時 焦點F在頂點的上方 所以此拋物線圖形開口向上 當c小於0時 焦點F在頂點的下方 所以此拋物線圖形開口向下 而無論是開口是向左或向右 的拋物線方程式 y平方等於4cx 或是開口向上或向下的 拋物線方程式 x平方等於4cy 我們都統稱為拋物線的標準式 來練習一題看看吧 已知一拋物線的焦點為F 準線為L x等於3 試求此拋物線的標準式為何 依題意畫圖可知此拋物線開口向左 因為對稱軸會通過焦點F 且與準線L x等於3垂直 所以可知對稱軸為x軸 且對稱軸與準線的交點為M 因為頂點為線段MF的中點 可得頂點為原點 又因頂點與焦點的距離為 c的絕對值 等於0減-3的絕對值 等於3 且拋物線開口向左c會小於0 因此c等於-3 接著將c等於-3代入剛剛得出的 開口左右的拋物線標準式 y平方等於4cx 即可得此拋物線標準式為 y平方等於-12x 前面我們討論的拋物線 都是頂點為原點的情況 接下來我們來看 當拋物線的頂點不為原點時 拋物線的標準式為何 這裡以開口向右的拋物線Γ y平方等於4cx來說明 我們知道原來的拋物線 Γ頂點為原點V 焦點為F 拋物線上有一點P 若現在將拋物線Γ平移 也就是將拋物線沿x軸方向平移h單位 再沿y軸方向平移k單位 則新拋物線Γ'的頂點為V' 焦點平移到F' 原拋物線上的點P 也會跟著平移到P' 設點Q為新拋物線Γ'上的任一點 不失一般性 我們可以令點Q 即為點P' 所以x'等於x加h y'等於y加k 移項可得 x等於x'減h y等於y'減k 因為點P在原方程式的圖形上 所以將x y代入原拋物線方程式Γ y平方等於4cx 可以得到括號y'減k的平方 等於4c乘上括號x'減h 因為拋物線Γ'上任一點Q 皆滿足方程式括號y'減k的平方 等於4c乘上括號x'減h 故平移後新拋物線Γ'方程式 即為括號y'減k的平方 等於4c括號x'減h 而每個符合此方程式的點坐標 該點也會落在此新的拋物線圖形上 因此當拋物線y平方等於4cx的圖形 平移使其頂點為V後 其圖形所對應的拋物線標準式為 括號y減k的平方 等於4c乘上括號x減h 同理當拋物線x平方等於4cy的圖形 平移使其頂點為V後 則其圖形所對應的拋物線標準式為 括號x減h的平方 等於4c乘括號y減k 整理一下拋物線平移後的標準式 第一種當拋物線y平方等於4cx的圖形 平移後 開口向左右的拋物線標準式為 括號y減k的平方等於4c乘括號x減h 當c大於0時 拋物線圖形開口向右 當c小於0時 拋物線圖形開口向左 第二種將拋物線x平方等於4cy的圖形 平移後 開口向上下的拋物線標準式為 括號x減h的平方等於4c乘括號y減k 當c大於0時 拋物線圖形開口向上 當c小於0時 拋物線圖形開口向下 因此若我們要求拋物線標準式時 只需要知道頂點坐標 拋物線的開口方向 和c值 就可以求得拋物線標準式囉 已知一拋物線的焦點為F 準線為L x等於4 試求此拋物線標準式為何 依題意畫圖可知拋物線開口向左 因為對稱軸會通過焦點F 且與準線L x等於4垂直 所以可知對稱軸為y等於1 且對稱軸與準線的交點為M 因為頂點為線段MF的中點 所以可得頂點坐標V 又因頂點與焦點的距離 為c的絕對值 等於1減-2的絕對值 等於3 且拋物線開口向左c會小於0 因此c等於-3 最後代入拋物線標準式 y減k的平方等於4c乘以x減h中 即可得此拋物線標準式為 括號y減1的平方 等於-12乘上括號x減1 在今天這支影片中 我們學會了如何以方程式來表示拋物線 當拋物線的頂點為時 則對稱軸平行x軸或平行y軸 分別會有不同的拋物線標準式 今天學會了拋物線方程式後 在下一支影片中即將介紹 我們可以利用拋物線方程式 來解決哪些生活中的問題 那我們就下一支影片見囉 掰掰