各位同學還記得第一冊有學過 平面上到一定點距離為定值的所有點 所形成的圖形是圓 那平面上到兩定點的距離和 為定值的所有點所形成的圖形 會是什麼呢 我們來畫圖探究看看吧 事實上這個圖形就是我們常聽到的 橢圓 橢圓的幾何定義 給定平面上兩相異定點F1 F2 及一定值2a 滿足2a大於線段F1F2的長 平面上所有滿足 線段PF1長加線段PF2長等於2a的P點 所形成的圖形稱為橢圓 而定點F1與F2稱為此橢圓的焦點 下圖是以F1 F2為圓心的兩組同心圓 各組五個同心圓的半徑 分別為1 2 3 4 5 且線段F1F2的長等於4 如果有一橢圓以F1 F2為焦點 且此橢圓上的點到F1與F2的距離和為6 已知A B兩點為橢圓上的兩點 請利用同心圓的交點 找出橢圓上的點 並利用平滑的曲線連接起來 圖上的A B C D E G H I這8個點 到F1與F2的距離和皆為6 因此都在橢圓上 用平滑曲線將這些點連起來 會得到橢圓的概略圖形 由橢圓的定義我們知道 給定平面上兩相異定點F1與F2 及一定值2a 若2a大於線段F1F2的長 則平面上所有滿足 線段PF1的長加線段PF2的長 等於2a的P點 所形成的圖形稱為橢圓 想一想 若2a等於線段F1F2的長時 則所有P點所形成的圖形是什麼呢 若2a小於線段F1F2的長時 則所有P點所形成的圖形是什麼呢 我們用剛剛介紹的 繩子畫橢圓的想法來看 當2a等於線段F1F2的長時 即繩長2a等於線段F1F2的長時 此時P點只能在F1 F2之間移動 因此P點所形成的圖形為線段F1F2 當2a小於線段F1F2的長時 即繩長2a小於線段F1F2的長時 繩子無法綁在兩定點之間 因此無法畫出圖形 我們統整一下 給定平面上兩相異定點F1與F2 及一定值2a 若2a大於線段F1F2的長時 則P點所形成的圖形為橢圓 若2a等於線段F1F2的長時 則所有P點所形成的圖形為線段F1F2 若2a小於線段F1F2的長時 則圖形不存在 因此在講橢圓的幾何定義時 別忘了2a大於線段F1F2的長這個條件 在畫圖的過程中 我們發現橢圓是一條封閉曲線 並且左右對稱 上下對稱 因此我們稱線段F1F2的中點O 為橢圓的對稱中心 簡稱中心 設線段F1F2的長等於2c 可得線段OF1的長等於OF2的長等於c 直線F1F2與橢圓的兩個交點 A1 A2稱為頂點 線段F1F2的中垂線 與橢圓的兩個交點B1 B2 也稱為頂點 換言之橢圓共有四個頂點 線段A1A2稱為橢圓的長軸 因為A1在橢圓上 所以線段A1F1的長加線段A1F2的長 等於2a 又因為O為線段F1F2的中點 線段OF1的長等於OF2的長 我們發現線段A1F1的長加線段A1F2的長 等於線段A1F1的長加括號線段A1O的長 加OF2的長 等於括號線段A1F1的長加線段OF1的長 加線段A1O的長 等於2倍的線段OA的長 所以線段OA1的長等於a 同理線段OA2的長等於a 因此中心O是長軸線段A1A2的中點 且長軸長線段A1A2的長等於2a 線段B1B2稱為橢圓的短軸 其長度習慣用2b表示 根據橢圓的對稱性 可知b等於線段OB1的長 等於線段OB2的長 因為B1在橢圓上 由橢圓的幾何定義可知 線段B1F1的長加線段B1F2的長 等於2a 又因為線段B1B2為線段F1F2的中垂線 我們得到線段B1F1的長等於線段B1F2的長 等於a 最後因為三角形B1OF1為直角三角形 由畢氏定理可知 a平方等於b平方加c平方 在圓上任兩點的連線段稱為弦 同理在橢圓上 任兩點連線 稱作橢圓的弦 其中過焦點的弦稱為橢圓的焦弦 與長軸垂直的焦弦稱為正焦弦 利用畢氏定理 我們可求得正焦弦長 假設P Q為正焦弦的兩端點 則線段PF1的長等於線段QF1的長 令線段PF1的長等於k 因為P點在橢圓上 根據橢圓的幾何定義 橢圓上任意點到兩焦點的距離和 為2a 所以線段PF2的長等於2a減k 考慮直角三角形PF1F2 由畢氏定理 k平方加括號2c的平方 等於括號2a減k的平方 k平方加4c平方 等於4a平方減4ak加k平方 4ak等於4倍的a平方減c平方 因為a平方等於b平方加c平方 所以4倍的a平方減c平方 等於4b平方 整理後得到 k等於a分之b平方 故正焦弦長即PQ的長等於2k 等於a分之2b平方 已知橢圓Γ的兩焦點為 F1 F2 且橢圓上任一點到兩焦點距離和為6 試求橢圓的 第題 中心 第題 短軸長 第題 正焦弦長 第題 中心為F1 F2的中點 第題 由題意可知焦距2c等於線段F1F2的長 等於4 長軸長2a等於6 因此a等於3 c等於2 代入a平方等於b平方加c平方 解得b等於根號5 故短軸長2b等於2根號5 第題 正焦弦長a分之2b平方 等於3分之2乘5 等於3分之10 在這個單元中 我們學到了橢圓的幾何定義 以及橢圓的性質 在數學上我們會如何描述橢圓呢 接下來我們會介紹如何從橢圓的幾何定義 得出橢圓方程式 敬請期待唷