各位同學還記得上個單元我們學過

橢圓的幾何定義嗎

橢圓的幾何定義

給定平面上兩相異定點F1 F2

及一定值2a

滿足2a大於線段F1F2的長

平面上所有滿足

線段PF1的長加線段PF2的長

等於2a的P點

所形成的圖形稱為橢圓

而定點F1與F2稱為此橢圓的焦點

從定義中可知

給定兩相異定點F1 F2

及一定值2a

滿足2a大於線段F1F2的長

就可以決定一個橢圓

如果我們知道這兩定點的坐標

F1 F2及一定值2a

是否就能得出橢圓方程式呢

我們先討論長軸在x軸上

且中心在原點的橢圓方程式

假設F1等於

F2等於

P點為橢圓上的一點

由橢圓的幾何定義可知

線段PF1的長加線段PF2的長等於2a

利用兩點距離公式

得出根號括號x減c的平方加y平方

加上根號括號x加c的平方加y平方

等於2a

首先將左式的第二項移至右邊

可得根號括號x減c的平方加y平方

等於2a減掉根號括號x加c的平方加y平方

再將等式兩邊平方展開

得到x平方減2cx加c平方加y平方

等於4a平方減4a乘上

根號括號x加c的平方加y平方

加上x平方加2cx加c平方加y平方

移項整理後得到

a乘上根號括號x加c的平方加y平方

等於a平方加cx

接著將等式兩邊平方後展開

變成a平方x平方加2a平方cx

加a平方c平方加a平方y平方

等於a4次方加2a平方cx

加c平方x平方

再移項整理

得括號a平方減c平方乘x平方

加a平方y平方

等於a平方乘括號a平方減c平方

最後利用b平方等於a平方減c平方

其中b為橢圓短軸長之半

將上式改寫成

b平方x平方加a平方y平方

等於a平方b平方

將等式兩邊同除以a平方b平方

得到橢圓的方程式

a平方分之x平方

加b平方分之y平方

等於1

反之滿足這個方程式的點

也都在此橢圓上

因此中心為原點O

長軸在x軸上

長軸長為2a

短軸長為2b的橢圓方程式為

a平方分之x平方

加b平方分之y平方

等於1

仿照上面的方法亦可推得

以F1等於

F2等於為焦點

長軸長為2a

短軸長為2b的橢圓方程式為

b平方分之x平方

加a平方分之y平方

等於1

方程式a平方分之x平方

加b平方分之y平方等於1

和b平方分之x平方

加a平方分之y平方等於1

都稱為中心在原點的橢圓標準式

我們將剛剛的結果整理如下表

因此知道橢圓相關的幾何資訊後

可以求出其方程式

我們來看一個例題

試求出焦點為F1與F2

長軸長為10的橢圓方程式

依題意畫圖

橢圓的中心為線段F1F2的中點O

因為長軸長2a等於10

2c等於線段F1F2的長等於8

所以a等於5 c等於4

再利用a平方等於b平方加c平方

解得b等於3

因為長軸在x軸上

故此橢圓的方程式為

25分之x平方

加9分之y平方

等於1

當橢圓的中心為任意點

且長軸與x軸或y軸平行時

此橢圓的方程式該如何表示呢

事實上這種橢圓都可由中心為原點

長軸在x軸或y軸上的橢圓

沿向量u等於平移得到

利用先前拋物線的標準式

與平移式單元中學過的

圖形平移概念

我們知道

若將原方程式的x改成x減h

且y改成y減k

即可得平移u向量等於後的方程式

由此可知

若將橢圓a平方分之x平方

加b平方分之y平方等於1的圖形

平移向量u等於

所得到的新圖形方程式為

a平方分之括號x減h的平方

加b平方分之括號y減k的平方

等於1

同理將橢圓b平方分之x平方

加a平方分之y平方等於1的圖形

平移向量u等於

所得到的新圖形方程式為

b平方分之括號x減h的平方

加a平方分之括號y減k的平方

等於1

此外將中心在原點的橢圓圖形

平移向量u等於後

新圖形的中心必為

同理焦點 頂點與對稱軸

也會跟著平移

我們將結果整理如下表

接下來我們練習由橢圓的相關元素

求出方程式

求中心在C點

其短軸長為8

且其中一個焦點F1為的橢圓標準式

從前面的討論可發現

若知道橢圓的中心跟a b

就可以得出橢圓方程式

由題意因為中心在C點

其中一個焦點F1為

所以c等於線段CF1的長等於3

且橢圓的長軸平行於x軸

短軸長2b等於8

所以b等於4

再利用a平方等於b平方加c平方

可知a等於5

故此橢圓方程式為

25分之括號x減2的平方

加16分之括號y減1的平方

等於1

反過來若給定橢圓方程式

也可推得圖形的各元素

求橢圓9x平方加y平方加18x

減4y加4等於0的

頂點與焦點坐標

分別對9x平方加y平方加18x

減4y加4等於0的x y配方

得9乘以括號x平方加2x加1

加上括號y平方減4y加4

等於9

9乘以括號x加1的平方

加上括號y減2的平方

等於9

將等式兩邊同除以9

改寫成

1平方分之括號x加1的平方

加上3平方分之括號y減2的平方

等於1

可得a等於3 b等於1

且橢圓的中心為

長軸平行y軸

如圖所示

再利用a平方等於b平方加c平方

得出c等於2根號2

因此橢圓的四個頂點分別為

兩焦點分別為

這個單元

我們透過橢圓的幾何定義

以及平移的概念

得出橢圓的標準式

因此知道橢圓相關的幾何資訊後

可以求出其方程式

反之知道橢圓方程式

也可求出橢圓相關的幾何資訊

從最後一個例題我們發現

可將形如ax平方加by平方加cx

加dy加e等於0的橢圓方程式

其中a b大於0

透過配方法來得出橢圓的各元素

但是形如ax平方加by平方加cx

加dy加e等於0 方程式的圖形

都是橢圓嗎

想一想

x平方加y平方減2x

減2y加2等於0

跟x平方加y平方加2x

減4y加6等於0的圖形

分別是什麼呢

試著利用配方法探究看看

最後用GGB來驗證結果吧