不知道各位同學有沒有搭過摩天輪呢 摩天輪上的每一個車廂 都繞著中間的軸心轉 若我們想利用電腦動畫 畫出摩天輪轉動的畫面 假設摩天輪的中心坐標為O 要如何描述各車廂的位置呢 假設摩天輪的車廂都在半徑為r的圓C x平方加y平方等於r平方上 r大於0 設P為圓C上一點 且θ是以x軸正向為始邊 射線OP為終邊的有向角 在高一時我們學過廣義角三角比的定義 cos θ等於r分之x sin θ等於r分之y 其中θ大於等於0小於2π 即x等於rcos θ y等於rsin θ θ大於等於0小於2π 因此圓C上的每一點坐標 都可表示成的形式 反之可以表示成此形式的點 都在圓C上 我們稱此形式為圓的參數式 其中θ稱為參數 以單位圓為例 當θ等於3分之π時 點P 在圓上 滿足線段OP 與x軸正向夾角為3分之π 同理當θ等於2分之π時 點P 等於 為單位圓跟y軸正向的交點 當θ等於3分之2π 4分之5π時 點的位置如圖 若是圓心在 半徑為r的圓 括號x減h平方加括號y減k平方 等於r平方 從上面的討論我們知道 x減h等於rcos θ y減k等於rsin θ θ大於等於0小於2π 移項後得到 x等於h加rcos θ y等於k加rsin θ θ大於等於0小於2π 因此我們有以下結論 圓括號x減h平方加括號y減k平方 等於r平方的參數式為 x等於h加rcos θ y等於k加rsin θ θ大於等於0小於2π 利用圓的參數式 我們可推得橢圓的參數式 設P為橢圓Γ a平方分之括號x減h平方 加b平方分之括號y減k平方 等於1上的一點 因為P點滿足括號a分之x減h的平方 加括號b分之y減k的平方等於1 所以點 落在單位圓上 由圓的參數式可知 a分之x減h等於cos θ b分之y減k等於sin θ 其中θ大於等於0小於2π 移項整理後得到 x減h等於acos θ y減k等於bsin θ θ大於等於0小於2π 換言之x等於h加acos θ y等於k加bsin θ θ大於等於0小於2π 因此橢圓Γ上每一點的坐標都可表示成 的形式 反之將形如 θ大於等於0小於2π的點 帶入橢圓Γ的方程式 得到a平方分之括號 h加acos θ減h的平方 加上b平方分之括號 k加bsin θ減k的平方 等於a平方分之a平方cos平方θ 加b平方分之b平方sin平方θ 等於cos平方θ加sin平方θ 等於1 因此形如的點 都在橢圓Γ上 我們稱此形式為橢圓的參數式 其中θ稱為參數 我們從伸縮的觀點來看 舉例來說 單位圓x平方加y平方等於1的參數式 為x等於cos θ y等於sin θ θ大於等於0小於2π 我們考慮單位圓上的點A 經由水平伸縮5倍 鉛直伸縮3倍 得到橢圓上的點P 因為5平方分之括號5cos θ平方 加3平方分之括號3sin θ平方等於1 我們發現點P在橢圓Γ 5平方分之x平方加3平方分之y平方等於1上 從剛才的伸縮變換中 會發現橢圓參數式中的θ 並不直接等於線段OP 與x軸正向的夾角 那點P在橢圓上的位置 與θ有什麼關係呢 我們以橢圓a平方分之x平方 加b平方分之y平方等於1 其中a大於b為例 如圖 此橢圓與大圓x平方加y平方等於a平方 和小圓x平方加y平方等於b平方 分別相切於橢圓的長軸頂點和短軸頂點 假設廣義角θ的終邊 分別與兩圓交於P 與P 由圓的參數式可知 P 且P 此時過P 做垂直線 過P 做水平線 即可得交點P 求下列各圓或橢圓的參數式 第題 x平方加y平方等於9 第題 16分之x平方加4分之y平方等於1 第題 3分之括號x減2的平方 加4分之括號y加1的平方等於1 解答 第題 圓x平方加y平方等於3平方的參數式為 x等於3cos θ y等於3sin θ θ大於等於0小於2π 第題 橢圓4平方分之x平方 加2平方分之y平方等於1的參數式為 x等於4cos θ y等於2sin θ θ大於等於0小於2π 第題 橢圓括號根號3的平方 分之括號x減2的平方 加2平方分之括號y加1的平方等於1 的參數式為 x減2等於根號3cos θ y加1等於2sin θ θ大於等於0小於2π 也就是x等於2加根號3cos θ y等於-1加2sin θ θ大於等於0小於2π 參數式其中一個優點 是便於表達圖形上的任意點坐標 接下來我們用實例來說明 橢圓參數式的應用 已知P點是橢圓4分之x平方 加1分之y平方等於1上的一點 A B為平面上兩點 求三角形PAB的面積 之最大值與最小值 設P是橢圓上的任一點 θ大於等於0小於2π 則向量AB等於 向量AP等於 利用三角形的面積公式 可得三角形PAB的面積為 2分之1行列式4 -2 2cos θ減1 sin θ減2 的絕對值 展開整理後得到 2分之1乘4sin θ加4cos θ減10的絕對值 等於2分之1乘4根號2sin θ加4分之π 減10的絕對值 等於2根號2sin θ加4分之π 減5的絕對值 因為-2根號2小於等於 2根號2sin θ加4分之π 小於等於2根號2 所以-2根號減5小於等於 2根號2sin θ加4分之π減5 小於等於2根號2減5 取絕對值後得 5減2根號2小於等於 2根號2sin θ加4分之π減5的絕對值 小於等於5加2根號2 故三角形PAB的面積之最大值為 5加2根號2 最小值為5減2根號2 這個單元我們學了圓參數式 以及橢圓參數式 因此圓跟橢圓上的點 都可以用參數來表示 十分方便 下個單元會介紹橢圓的應用 敬請期待唷