前面的單元 我們學到橢圓的幾何定義 橢圓的性質以及橢圓參數式 接下來看看橢圓的應用吧 在日常生活中 很容易看到橢圓形的物品 像是橢圓形的鏡子 橢圓形的餐桌 便利商店的手捲斜切 若將手捲視為圓柱體 則截面的邊界是橢圓 此外若將手電筒的光 所涵蓋的區域視為直圓錐 那麼在地面上 光影邊緣曲線 為橢圓或橢圓的一部分 在天文學也可看到橢圓的身影 在太陽系中 行星繞太陽的軌道一般都是橢圓 17世紀的天文學家克卜勒 在研究了第谷的觀測數據 及哥白尼模型後 提出了橢圓定律 每一個行星都沿各自的橢圓軌道環繞太陽 而太陽則處在橢圓的一個焦點上 舉例來說 太陽系的八大行星 與冥王星的運行軌道 就是橢圓 當行星運行到長軸的端點時 距離太陽較近的端點稱為近日點 較遠的端點稱為遠日點 我們來看相關的題目 某小行星的軌道 是以太陽為焦點的橢圓 當它位於近日點時 距離太陽約為10天文單位 當它位於遠日點時 距離太陽約為30天文單位 求此橢圓軌道的長軸長 短軸長與兩焦點之間的距離 當某小行星與太陽的連線 和太陽與遠日點的連線 形成60度的夾角時 求此小行星與太陽的距離 解答 第1題 設某小行星的橢圓軌道 長軸長為2a 短軸長為2b 兩焦點的距離為2c 由圖可知 近日點到太陽的距離為a減c 遠日點到太陽的距離為a加c 因此a減c等於10 a加c等於30 解得a等於20 c等於10 則b等於根號a平方減c平方 等於根號20平方減10平方 等於10根號3 所以此橢圓軌道的長軸長2a等於40 短軸長2b等於20根號3 兩焦點之間的距離2c等於20天文單位 第2題 當某小行星與太陽的連線 和太陽與遠日點的連線 形成60度的夾角時 令此小行星與太陽的距離 為x天文單位 因為小行星到兩焦點距離和為2a等於40 所以它與另一個焦點的距離 為40減x天文單位 由餘弦定理可知 括號40減x的平方 等於x平方加20平方 減2乘以x乘以20乘以cos 60度 整理後得到x平方減80x加1600 等於x平方減20x加400 60x等於1200 因此x等於20天文單位 即此小行星與太陽的距離為20天文單位 我們再來看這一題 行星P以橢圓軌道 3分之x平方加1分之y平方等於1 繞一恆星運轉 另有一彗星以近似直線的軌道靠近 且該彗星的軌道與該行星的軌道共平面 現將該彗星軌道視為直線L x加y等於-4 試求P點到直線L距離之最大值與最小值 並求其對應的P點坐標 解答 利用橢圓的參數式 令P點坐標為 0小於等於θ小於2π 由點到直線的距離公式 得P點到直線L的距離為 根號1平方加1平方分之 根號3cos θ加sin θ加4的絕對值 等於根號2分之 sin θ加根號3cos θ加4的絕對值 將上式的分子疊合成正弦函數的形式 得根號2分之 2sin θ加3分之π加4的絕對值 因為θ大於等於0小於2π 即θ加3分之π大於等於3分之π 小於3分之7π 所以sin θ加3分之π大於等於-1 小於等於1 即2sin θ加3分之π大於等於-2 小於等於2 因此2sin θ加3分之π加4 大於等於2 小於等於6 當sin θ加3分之π等於1時 P點到直線L的距離有最大值 根號2分之6等於3根號2 此時θ加3分之π等於2分之π 即θ等於6分之π 故P點坐標為 等於 當sin θ加3分之π等於-1時 P點到直線L的距離有最小值 根號2分之2等於根號2 此時θ加3分之π等於2分之3π 即θ等於6分之7π 故P點坐標為 等於 這題也可以用柯西不等式來解 令P點坐標為 則P點到直線L的距離為 根號2分之x加y加4的絕對值 又P點在橢圓上 故x y滿足3分之x平方加1分之y平方等於1 即x平方加3y平方等於3 利用柯西不等式 得到括號x平方加3y平方 乘上括號1平方加根號3分之1的平方 大於等於括號x加y的平方 將x平方加3y平方等於3代入 得3乘以3分之4 大於等於括號x加y的平方 即x加y大於等於-2小於等於2 不等式同加4得到 x加y加4大於等於2小於等於6 因此根號2分之x加y加4的絕對值 大於等於根號2小於等於3根號2 當1分之x等於根號3分之1分之根號3y 即x等於3y時 等號成立 解聯立方程式 x平方加3y平方等於3 x等於3y 得到x等於2分之3 y等於2分之1 或x等於-2分之3 y等於-2分之1 故當x等於2分之3 y等於2分之1時 根號2分之x加y加4的絕對值 有最大值3根號2 當x等於-2分之3 y等於-2分之1時 根號2分之x加y加4的絕對值 有最小值根號2 這個單元我們介紹了生活中的橢圓 以及橢圓在天文學上的應用 是不是很有趣呢