不論是核反應爐 還是火力發電廠的結構中 都有冷卻塔 冷卻塔是火力及核能發電廠的 循環水冷卻裝置 那麼大家知道 冷卻塔的外觀是什麼形狀嗎 其實啊 冷卻塔都是設計為雙曲線型的結構 讓底下冷空氣進氣口較大 中間窄熱氣上升快 而達到冷卻的效果 冷卻塔利用簡單的煙囪效應 帶動空氣來工作 其實無論什麼形狀 只要營造出一定垂直坡度的空間 就可以產生煙囪效應 那為什麼要雙曲面的設計呢 上次的課程中 我們介紹了平面上到兩相異定點 F 與F 的距離和為定值2a 其中2a大於線段F F 的長 即所有滿足線段PF 長加線段PF 長等於2a 其中2a大於線段F F 的長 之所有P點形成的圖形為橢圓 如果將上述的距離和 改成距離差的絕對值 也就是滿足 線段PF 長減線段PF 長的絕對值等於2a 其中2a大於0小於線段F F 的長 之所有P點形成的圖形為何 解答 線段Q F 的長減線段Q F 的長等於4 線段Q F 的長減線段Q F 的長等於4 線段Q F 的長減線段Q F 的長等於4 線段Q F 的長減線段Q F 的長等於4 以此類推 線段P F 的長減線段P F 的長等於4 線段P F 的長減線段P F 的長等於4 線段P F 的長減線段P F 的長等於4 線段P F 的長減線段P F 的長等於4 以此類推 我們將每個Q點以藍筆串起來 每個P點以紅筆串起來 我們由以上的觀察可發現下面的性質 這些交點P 與Q 到圓心F 的距離 與到圓心F 的距離差的絕對值 都等於4 為一定值 將左右兩邊的點 分別以平滑曲線連接 可得有兩條曲線的圖形 稱之為雙曲線 當圓的半徑越來越大時 兩圓在右 左邊所交的兩點 離F F 越來越遠 且開口越來越大 所以兩條曲線都可以無限延伸 我們將雙曲線的定義如下 設F 與F 是平面上相異兩定點 定值a大於0 且線段F F 等於2c 大於2a 則此平面上 滿足線段PF 長減線段PF 長的絕對值 等於2a的所有動點P 所形成的圖形稱為雙曲線 其中兩定點F 與F 稱為雙曲線的焦點 兩個焦點的中點為雙曲線的中心 方程式根號括號x減5的平方加y平方 減根號括號x加5的平方加y平方 的絕對值等於6的圖形為什麼 焦點為什麼 中心為什麼 注意2a等於6小於兩焦點距離 解答 設P為滿足方程式的點 為F 為F 2a等於6小於線段F F 的長 可知線段PF 長減線段PF 長的絕對值等於2a 因此方程式的圖形為雙曲線 焦點為 中心為線段F F 中點 為了更瞭解雙曲線 接下來讓我們逐一介紹 雙曲線的各要素 如圖所示 這裡是直線F F 與雙曲線的交點A和B稱為頂點 兩個焦點的中點為雙曲線的中心O 線段AB稱為貫軸 因為A點在雙曲線上 且O是線段F F 的中點 則線段OF 的長等於線段OF 的長 可得2a等於線段AF 的長減線段AF 的長 等於線段AO的長加線段OF 的長 減線段AF 的長 等於線段AO的長加線段OF 的長 減線段AF 的長 等於線段AO的長加線段OA的長 等於2倍的線段OA 即線段OA的長等於a 同理可得線段OB的長等於a 故O是貫軸AB的中點 且線段AB的長等於2a 在過中心且垂直貫軸的直線上 當線段CD的中點為O 且長度線段CD等於2b 並滿足c平方等於a平方加b平方時 我們稱線段CD為雙曲線的共軛軸 已知雙曲線上的任一點 到兩焦點F F 的距離差為定值2 且線段F F 的長等於4 試求 雙曲線的貫軸長 雙曲線的共軛軸長 解答 由雙曲線的定義可知 2a等於2 故貫軸長為2 因為貫軸長2a等於2 得a等於1 兩焦點的距離即線段F F 的長等於2c 等於4 得c等於2 所以b等於根號c平方減a平方 等於根號2平方減1平方 等於根號3 故雙曲線的共軛軸長 2b等於2根號3 如圖已知雙曲線Γ的兩焦點為F F 貫軸長為14 若F 在線段AB上 且線段AB的長為9 試求三角形ABF 之周長 解答 由貫軸長為14得知 線段AF 的長減線段AF 的長等於14 線段BF 的長減線段BF 的長等於14 則三角形ABF 之周長 為線段AF 的長加線段BF 的長 加線段AB的長 等於括號14加線段AF 的長 加括號14加線段BF 的長加線段AB的長 等於28加上括號線段AF 的長 加線段BF 的長 加線段AB的長 等於28加線段AB的長加線段AB的長 等於28加18等於46 在課程一開始的時候 我們提到了核反應爐 或者是火力發電廠的結構中 都有冷卻塔 冷卻塔是火力及核能發電廠的 循環水冷卻裝置 冷卻塔的外觀設計 為雙曲線型的結構 讓底下冷空氣進氣口較大 中間窄熱氣上升快 而達到冷卻的效果 除此之外 它設計成雙曲線的形狀 還有下面三個原因 彎曲曲率能提高結構本身的強度 能夠減少風阻 雙曲面冷卻塔為直紋曲面 由直線旋轉構成 不須彎曲鋼筋 施工方便 這次的課程中 我們介紹了雙曲線的定義 以及雙曲線的性質 同學們是不是都學會了呢 我們下次見