大家還記得雙曲線的定義嗎 若在平面上有兩點F F 滿足線段PF 的長 減線段PF 的長 的絕對值等於2a 其中2a大於0小於線段F F 的長 的所有P點所形成的圖形 即為雙曲線 而定點F F 稱為此雙曲線的焦點 F F 的中點稱為雙曲線的中心 根據雙曲線的定義 我們仿照拋物線和橢圓的方式 若中心在原點 貫軸在x軸上的雙曲線方程式 會長什麼樣子呢 現在我們先來看一個例子 設F F 為雙曲線Γ的兩個焦點 若P為雙曲線上任意一點 且滿足線段PF 的長 減線段PF 的長 的絕對值等於4 則滿足上式的P點軌跡的方程式為何 解答 若P為雙曲線上任意一點 且滿足線段PF 的長 減線段PF 的長 的絕對值等於4 則線段PF 的長 減線段PF 的長 等於正負4 即根號括號x減3的平方加y平方 減掉根號括號x加3的平方加y平方 等於正負4 根號括號x減3的平方加y平方 等於根號括號x加3的平方加y平方 加減4 兩邊平方後 括號x減3的平方加y平方 等於括號根號括號x加3的平方加y平方 加減4的平方 括號x減3的平方加y平方 等於括號x加3的平方加y平方 加減8乘以根號括號x加3的平方加y平方 加4平方 移項後負正8乘以根號括號x加3的平方加y平方 等於12x加16 負正2乘以根號括號x加3的平方加y平方 等於3x加4 兩邊平方後可得 4乘以括號x加3的平方加y平方 等於括號3x加4的平方 經過整理之後可以得到 5x平方減4y平方等於20 此式可以寫成 4分之x平方減5分之y平方等於1 事實上若P滿足方程式 4分之x平方減5分之y平方等於1 也能得到線段PF 的長 減線段PF 的長 的絕對值等於4 根據上式的結果 我們可以發現 設F F 為雙曲線Γ的兩個焦點 若P為雙曲線上任意一點 且滿足線段PF 的長 減線段PF 的長 的絕對值等於4 則滿足上式的P點軌跡的方程式為 4分之x平方減5分之y平方等於1 同學們是否有發現這些數字之間的關係呢 我們可以發現方程式可以化為 括號2的平方分之x平方 減掉括號根號5的平方分之y平方 等於1 括號2的平方分之x平方 減掉3平方減2平方分之y平方 等於1 其中的2平方為半貫軸長a的平方 3平方減2平方等於c平方減a平方 等於半共軛軸長b的平方 當雙曲線的中心為原點O 貫軸在x軸上時 可知以F F 為焦點 貫軸長為2a的雙曲線方程式為 a平方分之x平方 減b平方分之y平方 等於1 同理利用上述方法 亦可推得中心在原點 貫軸在y軸上 F F 為焦點 貫軸長為2a的雙曲線方程式為 a平方分之y平方 減b平方分之x平方 等於1 我們來看個例題 求滿足下列各條件的雙曲線方程式 1.焦點為F F 貫軸長為6 2.焦點為F F 共軛軸長為6 解答 第題 因為焦點為F F 則中心為 且c等於5 2a等於6 a等於3 因此b等於4 所以方程式為 9分之x平方減16分之y平方 等於1 第題 因為焦點為F F 則中心為 且c等於4 2b等於6 b等於3 因此a等於根號4平方減3平方 等於根號7 所以方程式為 7分之y平方減9分之x平方 等於1 解答 第題 將方程式為9x平方減16y平方等於144 改寫成4平方分之x平方減3平方分之y平方 等於1 由上可以得知 此雙曲線的中心在 兩焦點在x軸上 且a等於4 b等於3 c等於根號a平方加b平方 等於5 所以貫軸長2a等於8 共軛軸長2b等於6 焦點坐標為 頂點坐標為 第題 將方程式為9x平方減4y平方等於-36 改寫成3平方分之y平方減2平方分之x平方 等於1 由上可以得知此雙曲線的中心在 兩焦點在y軸上 且a等於3 b等於2 c等於根號a平方加b平方 等於根號13 所以貫軸長2a等於6 共軛軸長2b等於4 焦點坐標為 頂點坐標為 當雙曲線的中心為任意點 且貫軸與x軸或y軸平行時 此雙曲線的方程式該如何表示呢 事實上這種雙曲線都可以由中心為原點 貫軸在x軸或y軸上的雙曲線平移而來 由圖形平移的概念可知 將中心為原點 貫軸在x軸上的雙曲線 a平方分之x平方 減b平方分之y平方 等於1 往右平移h單位 向上平移k單位 就是將原方程式的x改成x減h 且y改成y減k 也就是說平移後的雙曲線方程式為 a平方分之括號x減h的平方 減b平方分之括號y減k的平方 等於1 此時雙曲線的中心為 焦點為與 同理將雙曲線 a平方分之y平方 減b平方分之x平方 等於1 往右平移h單位 向上平移k單位 平移後的雙曲線方程式為 a平方分之括號y減k的平方 減b平方分之括號x減h的平方 等於1 我們來看個例題 已知雙曲線的方程式為 9分之括號x減1的平方 減16分之括號y加2的平方 等於1 試求中心 貫軸長與共軛軸長 頂點與焦點坐標 解答 第題 由方程式可知中心為 第題 因為3平方分之括號x減1的平方 減4平方分之括號y加2的平方等於1 的貫軸平行x軸 a等於3 b等於4 所以貫軸長2a等於6 共軛軸長2b等於8 第題 頂點為 即與 因為c等於根號a平方加b平方 等於根號3平方加4平方 等於5 所以焦點坐標為 即與 這次的課程介紹了雙曲線的標準式 雙曲線的標準式 1.當雙曲線的中心為原點O 貫軸在x軸上時 則以F F 為焦點 貫軸長為2a的雙曲線方程式為 a平方分之x平方 減b平方分之y平方 等於1 2.當雙曲線的中心在原點 貫軸在y軸上時 F F 為焦點 貫軸長為2a的雙曲線方程式為 a平方分之y平方 減b平方分之x平方 等於1 將雙曲線a平方分之x平方 減b平方分之y平方等於1 往右平移h單位 向上平移k單位 平移後的雙曲線方程式為 a平方分之括號x減h的平方 減b平方分之括號y減k的平方 等於1 此時雙曲線的中心為 焦點為與 將雙曲線a平方分之y平方 減b平方分之x平方等於1 往右平移h單位 向上平移k單位 平移後的雙曲線方程式為 a平方分之括號y減k的平方 減b平方分之括號x減h的平方 等於1 此時雙曲線的中心為 焦點為與 同學們是不是都學會了呢 我們下次見