在上次的課程中 我們介紹了雙曲線的標準式以及平移 雙曲線的標準式 當雙曲線的中心為原點O 貫軸在x軸上時 可知以F F 為焦點 貫軸長為2a的雙曲線方程式為 a平方分之x平方減b平方分之y平方等於1 當雙曲線的中心在原點 貫軸在y軸上 F F 為焦點 貫軸長為2a的雙曲線方程式為 a平方分之y平方減b平方分之x平方等於1 雙曲線的平移 將左右開口的雙曲線 a平方分之x平方減b平方分之y平方等於1 往右平移h單位 向上平移k單位 平移後的雙曲線方程式為 a平方分之括號x減h的平方 減b平方分之括號y減k的平方 等於1 此時雙曲線的中心為 焦點為與 將上下開口的雙曲線 a平方分之y平方減b平方分之x平方等於1 往右平移h單位 向上平移k單位 平移後的雙曲線方程式為 a平方分之括號y減k的平方 減b平方分之括號x減h的平方 等於1 此時雙曲線的中心為 焦點為與 從雙曲線的圖形中 我們可以發現雙曲線的圖形 是兩支可以無限延伸的曲線 而且當雙曲線上的P點 沿著雙曲線逐漸遠離中心時 雙曲線似乎會愈來愈靠近某兩條直線 我們稱這兩條直線為雙曲線的漸近線 我們要如何知道雙曲線這兩條漸近線的 直線方程式呢 首先我們假設雙曲線的方程式為 a平方分之x平方減b平方分之y平方等於1 移項化簡將其表示成 y等於正負b乘以根號a平方分之x平方減1 當x愈來愈大且趨向無限大時 紅色曲線漸漸逼近藍色直線 y等於b乘以根號a平方分之x平方減1 約等於b乘以根號a平方分之x平方 等於b乘以a分之x的絕對值 等於a分之bx y等於-b乘以根號a平方分之x平方減1 約等於-b乘以根號a平方分之x平方 等於-b乘以a分之x的絕對值 等於-a分之bx 當x愈來愈小而且趨向負無限大時 紅色曲線漸漸逼近藍色直線 y等於b乘以根號a平方分之x平方減1 約等於b乘以根號a平方分之x平方 等於b乘以a分之x的絕對值 等於-a分之bx y等於-b乘以根號a平方分之x平方減1 約等於-b乘以根號a平方分之x平方 等於-b乘以a分之x的絕對值 等於a分之bx 根據以上的討論 得知左右開口的雙曲線 a平方分之x平方減b平方分之y平方等於1 會有兩條漸近線 且它們的方程式為 y等於正負a分之bx 即bx加ay等於0 以及bx減ay等於0 由此可知 漸近線會通過雙曲線的中心 且它的斜率為正負a分之b 仿照類似的方法可得 上下開口的雙曲線 a平方分之y平方減b平方分之x平方等於1 會有兩條漸近線 且它們的方程式為 y等於正負b分之ax 即ax減by等於0 以及ax加by等於0 由此可知 漸近線會通過雙曲線的中心 且它的斜率為正負b分之a 此外如果將雙曲線的漸近線 繪製在坐標平面上時 可得漸近線會通過原點O 且恰為以貫軸長2a與共軛軸長2b 為邊長的矩形對角線 現在讓我們來看個例子 試求雙曲線 9分之x平方減16分之y平方等於1 的兩條漸近線方程式 將方程式改寫成 3平方分之x平方減4平方分之y平方等於1 可得a等於3 b等於4 故兩條漸近線的方程式為 y等於正負3分之4x 即4x減3y等於0 與4x加3y等於0 當雙曲線的中心不是原點的時候 我們該如何求雙曲線的漸近線呢 這個時候我們只要善用高一學過的 直線方程式中的點斜式就可以了 接下來讓我們來看一個例子吧 範例 試求雙曲線Γ 4x平方減9y平方減8x加36y加4等於0的中心 焦點坐標與漸近線方程式 步驟1 對x y分別配方整理 由於這個式子並非是雙曲線的標準式 因此我們需要對x y分別配方整理 括號4x平方減8x減括號9y平方減36y 等於-4 4乘以括號x平方減2x加1 減掉9乘以括號y平方減4y加4 等於-36 即4乘以括號x減1的平方 減9乘以括號y減2的平方 等於-36 兩邊同除以-36 -9分之括號x減1的平方 加4分之括號y減2的平方 等於1 步驟2 從雙曲線方程式得知中心及漸近線斜率 雙曲線的中心在Q 貫軸平行y軸 a等於2 b等於3 c等於根號a平方加b平方 等於根號4加9 等於根號13 所以焦點為 因為此雙曲線是由 -9分之x平方加4分之y平方等於1平移所得 所以漸近線斜率相等 故漸近線的斜率為正負b分之a 等於正負3分之2 且漸近線過中心Q 步驟3 利用點斜式求得漸近線方程式 故漸近線為y減2等於3分之2乘括號x減1 或y減2等於-3分之2乘括號x減1 現在我們已經知道 如果雙曲線的方程式為 a平方分之x平方減b平方分之y平方等於1 則它的兩條漸近線方程式為 L bx加ay等於0 以及L' bx減ay等於0 若P為雙曲線Γ上一點 則a平方分之x 平方減b平方分之y 平方等於1 整理後得知 b平方x 平方減a平方y 平方 等於a平方b平方 由於P點到L與L'的距離分別為 d等於根號a平方加b平方 分之bx 加ay 的絕對值 以及d'等於根號a平方加b平方 分之bx 減ay 的絕對值 這時候我們計算P點到L 與L'的距離的乘積為 d乘以d' 等於根號a平方加b平方 分之bx 加ay 的絕對值 乘以根號a平方加b平方 分之bx 減ay 的絕對值 等於a平方加b平方分之 bx 加ay 乘以bx 減ay 的絕對值 等於a平方加b平方分之 b平方x 平方減a平方y 平方的絕對值 等於a平方加b平方 分之a平方乘b平方 我們可以發現 P點到直線L與L'的距離的乘積為一定值 今天的課程中我們介紹了 如果有一個左右開口的雙曲線 a平方分之x平方減b平方分之y平方等於1 則它的兩條漸近線方程式為 y等於正負a分之bx 漸近線會通過雙曲線的中心 且它的斜率為正負a分之b 上下開口的雙曲線 a平方分之y平方減b平方分之x平方等於1 則它的兩條漸近線的方程式為 y等於正負b分之ax 漸近線會通過雙曲線的中心 且它的斜率為正負b分之a 若P為雙曲線Γ上一點 則P點到直線L與L'的距離的乘積為一定值 a平方加b平方分之a平方乘b平方 同學們是不是都學會了呢 我們下次見