前一個影片

我們介紹了隨機現象

表示不能預知確定結果

隨機發生的現象

隨機試驗表示當一個

無法確定的結果的隨機現象

在相同的條件下

進行重複的試驗

隨機變數表示將

隨機試驗所有可能發生的結果

對應到一個實數值的函數關係

通常以X表示

隨機變數X的機率質量函數

表示將隨機變數X的值

對應到機率的函數關係

通常會以表格的方式呈現

稱為機率分布表

接下來會進一步介紹

隨機變數的期望值

解答

金額為2000元的機率為6分之1

3000元的機率3分之1

4000元的機率3分之1

5000元的機率6分之1

高一的時候我們學過

當一試驗有n種結果

對應的值分別為

m m 一直到m

且每一種結果發生的機率

分別為p p 一直到p 時

此試驗的期望值

就是把每一個所得結果的值

乘上所對應的機率後加總

也就是E等於m p 加m p

一直加到m p

同理對於隨機變數X來說

將X所有可能的值

x x 一直到x

分別乘上相對應發生的機率

p p 一直到p

再把它們加總

也就是x p 加x p

一直加到x p

這就是隨機變數X的期望值

我們常記作E

我們以剛剛同學練習的課前測驗來看

根據定義可得隨機變數X的期望值為

2000乘以6分之1

加3000乘以3分之1

加4000乘以3分之1

加5000乘以6分之1

等於3500元

解答

出現0次的發生機率為36分之25

出現1次的發生機率為18分之5

出現2次的發生機率為36分之1

隨機變數X的期望值E等於

0乘以36分之25

加1乘以18分之5

加2乘以36分之1

等於3分之1

期望值的概念常常運用在

金融產品的設計

例如2020年因應疫情推出的

防疫險保單

某保險公司針對某地區設計

防疫保單的理賠金額為10萬元

依照數據統計

此地區民眾一年內染疫的機率

為0.005

也就是說民眾一年內健康的機率

為0.995

那麼保費至少要收多少錢呢

我們設隨機變數X表示

保險公司在這張保單的收支情形

並假設保費至少要收x元

這時我們就可以完成

隨機變數X的機率分布表

當民眾健康時

保險公司會賺取保費x元

當民眾染疫時

保險公司雖然會先收取保費x元

但是也要理賠10萬元

所以收支情形為x減10萬元

接著我們計算保險公司

收支的期望值為

括號x減100000乘以0.005

加上0.995乘以x

化簡得到x減500元

所以如果保險公司不賠錢的話

收支的期望值x減500

至少要大於等於0

也就是說保費x至少要收到500元

這個影片我們介紹了

隨機變數X的期望值

設隨機變數X所有可能的值為

x x 一直到x

其對應發生的機率分別為

p p 一直到p

則隨機變數X的期望值為

x p 加x p 一直加到x p

高一除了學過期望值之外

另外還有變異數與標準差的概念

下一支影片我們就會來介紹

隨機變數X變異數與標準差的概念囉

大家繼續加油吧