上一個影片我們介紹了 隨機變數X的期望值 設隨機變數X所有可能的值為 x x 一直到x 其對應發生的機率分別為 p p 一直到p 則隨機變數X的期望值為 x p 加x p 一直加到x p 高一曾介紹過數據的變異數與標準差 這個可以用來衡量 該組數據的分散程度 接下來我們用一個例子 來介紹隨機變數的變異數與標準差 例如有6個數據為 4 5 7 5 4 5 則此6個數據的平均數為 μ等於6分之1乘以括號 4加5加7加5加4加5 我們也可以將這個平均數寫成 4乘以6分之2加5乘以6分之3 加7乘以6分之1等於5的形式 因此這6個數據的平均數μ 可以視為隨機變數X的取值 分別為4 5 7 且對應的機率分別為 6分之2 6分之3 6分之1之期望值 這也可以想成 期望值就是將每一個數值 以其發生的機率進行加權平均 而這6個數據的變異數為 σ平方等於6分之1乘以括號 4減5的平方加5減5的平方 加7減5的平方加5減5的平方 加4減5的平方加5減5的平方 可以整理成6分之1乘以括號 4減5的平方乘以2 加上5減5的平方乘以3 加上7減5的平方乘以1 最後寫成4減5的平方乘以6分之2 加上5減5的平方乘以6分之3 加上7減5的平方乘以6分之1 等於1的形式 那麼我們對應回剛剛隨機變數X 取值分別為4 5 7的機率分布表 並仿照剛剛提到期望值加權的概念 來定義隨機變數X的變異數 將每個數值4 5 7 都減去期望值5 接著平方後 乘上對應的機率 6分之2 6分之3 6分之1 最後再把它們全部加起來 這就是隨機變數X的變異數 通常記做variance of x 一般而言 設隨機變數X所有可能的值為 x x 一直到x 相對應發生的機率為 p p 一直到p 隨機變數X的期望值為E 等於x p 加x p 一直加到x p 假設期望值求出來為μ 此時變異數為Var 等於括號x 減μ的平方乘p 加上括號x 減μ的平方乘以p 一直加到括號x 減μ的平方乘以p 而標準差σ就是變異數開根號 前一個單元的影片我們做過這個題目 現在我們繼續延伸這一題 進一步求變異數與標準差 處理變異數時 有時為了計算上的方便 會將變異數的公式進行改寫 我們以隨機變數X 所有可能的值有三個為例 來推導說明 假設x x x 相對應發生的機率 為p p p 則依據定義變異數就是Var 等於括號x 減μ的平方乘p 加上括號x 減μ的平方乘p 接著我們來處理這三個有平方的括號 分別將這三個括號展開 得到括號x 平方減2x μ加μ平方乘上p 加上括號x 平方減2x μ加μ平方乘上p 加上括號x 平方減2x μ加μ平方乘上p 重新排序整理 把x平方的項放在一起 先得到括號x 平方乘p 加x 平方乘p 接著針對x的一次項把-2μ提出來 括號裡面剩下 x p 加x p 加x p 最後把μ平方提出來 括號裡面剩下p 加p 加p 其中x 乘p 加x 乘p 加x 乘p 就是期望值μ的定義 而括號p 加p 加p 加起來的值會是1 所以這個式子我們又可以化簡為 括號x 平方p 加x 平方p 加x 平方p 減掉2倍的μμ加上μ平方乘1 整理得到 括號x 平方p 加x 平方p 加x 平方p 減掉μ平方 觀察這個公式 計算變異數就會變得簡單許多 只要把每個數值x x x 分別平方後 乘上各自的機率p p p 最後再減掉期望值μ的平方就可以了 又因為括號x 平方p 加x 平方p 加x 平方p 是隨機變數X平方的期望值 所以也可以用符號E表示 一般而言設隨機變數X 所有可能的值為x x 一直到x 相對應發生的機率為 p p 一直到p 隨機變數X的期望值為μ 此時變異數的公式可以寫為 Var等於括號x 平方p 加x 平方p 一直加到x 平方p 減μ平方 或記做隨機變數X平方的期望值 減期望值的平方 剛剛練習過的測驗題 試著用變異數的公式計算看看 答案有沒有一致吧 想想看 如果今天隨機變數X的取值 有無限多個時 期望值與變異數的式子要怎麼寫呢 這個影片我們介紹了 隨機變數X的變異數與標準差 設隨機變數X所有可能的值為 x x 一直到x 相對應發生的機率為 p p 一直到p 隨機變數X的期望值為 E等於x p 加x p 一直加到x p 等於μ 那麼變異數的定義 Var等於括號x 減μ的平方乘p 加括號x 減μ的平方乘p 一直加到括號x 減μ的平方乘p 而標準差σ就是變異數開根號 另外把變異數的定義整理後 也可以寫成公式 括號x 平方乘p 加x 平方乘p 一直加到x 平方乘p 減掉μ平方 也就是每一個取值分別平方後 乘上各自的機率 最後再減掉期望值μ的平方就可以了 介紹完隨機變數的期望值 變異數與標準差的概念後 下一支影片我們就會來介紹 隨機變數X期望值 變異數與標準差的性質 大家繼續加油吧