之前的影片介紹了 隨機變數的期望值 變異數與標準差 讓我們來複習一下它們的定義 隨機變數X的期望值 變異數與標準差 設隨機變數X所有可能的值為 x x 一直到x 相對應發生的機率為 p p 一直到p 那麼隨機變數X的期望值定義為 x 乘p 加x 乘p 一直加到x 乘p 等於μ 變異數定義為 括號x 減μ的平方乘p 加括號x 減μ的平方乘p 一直加到括號x 減μ的平方乘p 而標準差就是變異數開根號 另外把變異數的定義整理後 也可以寫成公式 括號x 平方乘p 加x 平方乘p 一直加到x 平方乘p 減掉μ平方 也就是每一個取值分別平方後 乘上各自的機率 最後再減掉期望值μ的平方 解答 金額為11元的機率為3分之2 金額為20元的機率為3分之1 隨機變數X的期望值為 11乘以3分之2加20乘以3分之1 等於14元 變異數等於括號11的平方乘3分之2 加20的平方乘3分之1 減掉14的平方 等於18 標準差等於根號Var 等於根號18 等於3根號2元 學會了隨機變數的期望值 變異數與標準差的概念後 接著就可以來認識一下 隨機變數X期望值 變異數與標準差的性質 日常生活中 數據常因使用單位的不同而有所變化 例如身高單位的換算 如果某人身高 用公分表示為160公分 但是用公尺表示就是1.6公尺 經過單位換算後 從160變成了1.6 造成了數據的改變 又例如溫度單位的換算 當溫度用攝氏表示為30度C 要換成華氏時 要先乘以5分之9再加上32 得到86度F 因為攝氏與華氏單位上的不同 而造成了數據上30與86的不同 像這樣將數據的平移與伸縮之後 它的期望值 標準差會怎麼改變呢 高一曾經提到過 設n個數據x x 一直到x 的平均數為μ 變異數為σ 的平方 標準差為σ 將每個數據乘以a再加b 形成一組新數據 y y 一直到y 也就是說每個y 都是對應的x 乘以a再加上b 其中i等於1 2一直到n 接著令這些新數據的平均數為μ 變異數為σ 的平方 標準差為σ 那麼新數據的平均數μ 就會是原數據的平均數μ 乘以a再加b 新數據的變異數σ 的平方 就是原數據的變異數σ 的平方 乘以a平方 新數據的標準差σ 就會是原數據的標準差 σ 乘以絕對值a 從這裡可以發現 平均數會跟著原始的數據 進行平移與伸縮 但是變異數與標準差 只會跟著原始的數據進行伸縮而已 數據的平移是不會影響 變異數與標準差的 隨機變數的期望值 變異數與標準差 也跟數據的平均數 變異數與標準差 有同樣的概念 若X為隨機變數 且期望值為E 變異數為Var 標準差為σ 則將隨機變數X所有可能的值 x x 一直到x 乘上常數a再加上常數b 那麼得到的y y 一直到y 為隨機變數Y所有可能的值 並且Y等於aX加b 接著令這些新的隨機變數Y的期望值 為E 變異數為Var 標準差為σ 那麼隨機變數Y的期望值 就會是隨機變數X的期望值 乘以a再加b 隨機變數Y的變異數 就會是隨機變數X的變異數 乘以a平方 隨機變數Y的標準差 就會是隨機變數X的標準差 乘以絕對值a 與數據平移伸縮同樣的概念 新的隨機變數期望值 會跟著原來的隨機變數 進行平移與伸縮 但是變異數與標準差 只會跟著原來的隨機變數 進行伸縮而已 平移是不會影響變異數與標準差的 來看一個例子 隨機變數期望值的性質 利用定義就可以很容易地證明出來 設X為隨機變數 且其機率分布表如畫面所示 若隨機變數Y等於aX加b 也就是將X的所有可能的值 乘以a再加b 這時隨機變數Y出現的機率分布表 如畫面所示 這時利用期望值的定義 可以得隨機變數Y的期望值 等於括號ax 加b乘p 加括號ax 加b乘p 一直加到括號ax 加b乘上p 分別就a b進行整理得到 a乘以括號x 乘p 加x 乘p 一直加到x 乘p 加上b乘上括號p 加p 一直加到p 而前面的x p 加x p 一直加到x p 就是隨機變數X的期望值 而p 加p 一直加到p 會是1 因此化簡就可以得到 a乘上E加b 同樣的方法可推導出的 變異數與標準差的性質 同學可以自行試試看哦 若X為隨機變數且變異數為Var 標準差為σ 試證明隨機變數Y等於aX加b的變異數 Var等於a平方乘Var 標準差σ等於a的絕對值乘σ 這個影片介紹了隨機變數期望值 變異數與標準差的性質 最後讓我們來複習一下 若X為隨機變數 且期望值為E 變異數為Var 標準差為σ 則隨機變數Y等於aX加b的期望值 E等於a乘上E加b 變異數Var等於a平方乘上Var 標準差σ等於a的絕對值乘上σ 隨機變數的概念就介紹到這裡 這裡我們介紹隨機變數所有的值 大多有很多種可能 之後我們會介紹只有兩種結果的試驗 也就是伯努力試驗 大家繼續加油哦