在以前的影片中我們學過 兩個事件獨立的定義 提到設A與B為兩事件 若P等於P乘以P 則稱A B為獨立事件 否則稱為相依事件 也學過三個事件獨立的定義 提到當A B C為三事件 同時滿足下列條件時 P等於P乘以P P等於P乘P P等於P乘以P P 等於P乘以P乘以P 則稱A B C三事件為獨立事件 那麼n個事件獨立的定義是什麼呢 若A A 一直到A 是n 其中n大於等於2個事件 如果對於其中任意2個 任意3個 一直到任意n個事件的積事件機率 都等於各事件機率的乘積 則稱這n個事件彼此互相獨立 若已知A A 一直到A 這n個事件彼此互相獨立 則有P 等於P乘P 一直乘到P的性質 這是我們很常用到的性質喔 我們來看一個n等於4的例子 如果一個隨機試驗 只有兩種可能的結果 就稱為一個伯努力試驗 習慣上將這兩種結果 分別稱為成功或失敗 其中成功的定義是指此情境中 我們聚焦感興趣討論的那一個結果 如果成功的機率為p 則失敗的機率為1減p 或是給它一個新的變數叫做q 這邊舉一些例子 例1 丟一枚公正的硬幣 若丟出正面叫成功 則丟出反面叫做失敗 例2 袋中抽一球 若抽中紅球叫做成功 則抽中非紅球叫做失敗 例3 投擲一顆公正的骰子 若出現1點叫做成功 則出現非1點叫做失敗 出現1點的機率是6分之1 出現非1點的機率是6分之5 何謂重複試驗呢 就是執行相同條件的試驗 何謂獨立重複試驗呢 在重複試驗中 每次結果互不影響時 稱為獨立重複試驗 我們以重複多次的伯努力試驗作為說明 例如丟一枚硬幣50次 紀錄成功出現正面的次數 發現這些重複試驗都具有以下特徵 每次試驗的結果互不影響 每次試驗成功的機率均相等 因此這支影片只討論獨立重複的伯努力試驗 我們來看一個例子 我們將3次投籃恰命中2次的情形製成下表 3次投籃中 恰命中2次的方法數 就是2個圈1個叉 作有相同物直線排列的方法數 即3階層除以2階層再除以1階層 共3種 而3階層除以2階層再乘以1階層 又恰好是C 3取2的定義 又因為每一種情形對應的機率都是 0.9的平方乘0.1 故3次投籃中 恰命中2次的機率為 C 3取2乘0.9的平方乘0.1 因此我們可以結論出 設一伯努力試驗成功的機率為p 則獨立重複伯努力試驗n次中 恰出現k次成功的機率為 C n取k乘p k次方乘1減p的n減k次方 讓我們再來練習一題 假設某狙擊手每次狙擊時 擊中目標的機率為5分之4 若每次狙擊的結果是互相獨立的 則他狙擊5次中 恰擊中2次的機率是多少 正確答案為625分之32 你寫對了嗎 如果一個隨機試驗只有兩種可能的結果 就稱為一個伯努力試驗 習慣上將這兩種結果 分別稱為成功或失敗 如果成功的機率為p 則失敗的機率為1減p 或是給它一個新的變數叫做q 設一伯努力試驗成功的機率為p 則獨立重複伯努力試驗n次中 恰出現k次成功的機率為 C n取k乘pk次方 乘1減p的n減k次方 下一單元我們將以伯努力試驗為前提 探討二項分布 讓我們拭目以待喔